[재미있는 수학] "윙크하는 눈사람, 수학으로 만들 수 있죠"

그래프와 디자인 ②

수학을 이용하면 등호를 부등호로 바꿔 눈사람에 색을 입힐 수 있고, 변수 개념을 이용해 눈사람이 팔을 흔들며 윙크하게 할 수도 있습니다. 나만의 감각을 더해 세상에 하나뿐인 수학 작품을 만들어보시기 바랍니다.

지난 생글생글 924호에서는 Desmos(데스모스) 그래핑 계산기를 이용해 수식 입력만으로 눈사람 그리기에 도전했습니다(https://www.desmos.com/calculator/q2uswoyurf). 삭막해 보일 수 있는 수식들이 모여 귀여운 눈사람이 되는 과정이 꽤 흥미로웠는데, 이번에는 눈사람에 색을 입히고, 눈사람을 움직이게 하면서 더 생생한 느낌을 줄 수 있도록 생명력을 불어넣어보겠습니다.

우선 눈사람의 입을 빨간색으로 바꿔보겠습니다. 입력창에서 입에 해당하는 식의 왼쪽에 있는 동그라미 를 길게 누르면 선의 속성 창이 나타납니다. 여기서 색을 빨간색으로 바꾸시면 됩니다.

이번에는 눈사람의 눈 내부를 까맣게 칠하려고 합니다. 그런데 원의 방정식으로 그려진 원은, 원의 내부는 포함하지 않은 원의 둘레를 말합니다. 여기서 원의 내부를 칠하려면 ‘부등식의 영역’이라는 개념을 활용합니다. 오른쪽 눈을 나타내는 식 에서 등호를 부등호로 바꿔봅니다. ‘=’를 ‘ ≥ ’로 바꾸자 원의 내부가 아니라 원의 외부가 칠해집니다.[그림 1] 부등호의 방향을 ‘≤’로 바꾸니 원하는 대로 원의 내부가 칠해집니다.[그림 2]

‘≤’ ‘≥’ ‘＜’ ‘＞’ 중 어느 것을 써야 할지 헷갈릴 텐데, 걱정하지 않아도 됩니다. 정확하게 알지 못하더라도 공학 도구에서는 일단 써보고 원하는 것이 아니면 수정하면 됩니다. 이러한 ‘부등식의 영역’에 대한 개념은 선택 과목인 <경제 수학>에서 아주 중요하게 다루는 개념이므로 관심 있는 학생은 추가로 공부해보시기 바랍니다. 눈사람의 왼쪽 눈과 단추도 부등식의 영역을 이용해 예쁘게 칠해보시기 바랍니다.[그림 3]

이제 눈사람의 팔을 움직이게 해봅시다. 오른쪽 팔을 나타내는 직선의 방정식

에서 팔을 위아래로 움직이려면 y절편인 -3을 조절해 변하게 해야 합니다. 이때 변수 역할을 하는 기능인 슬라이더를 사용합니다. y절편인 -3을 변수 a로 고쳐 식을

로 바꿔봅니다. 새로 생긴 ‘슬라이더 a 추가’ 버튼을 클릭하고, a 의 값을 조절할 수 있는 막대에서 슬라이더를 좌우로 움직이면 오른팔이 위아래로 평행이동하며 움직입니다.[그림 4]

그런데 오른팔 전체가 위아래로 움직이니 어색합니다. 오른팔을 나타내는 선분의 왼쪽 끝점을 눈사람의 몸통에 고정하고 기울기를 변화시키며 흔드는 것이 더 좋을 것 같습니다. 고1의 직선의 방정식 단원에서 배우는 ‘한 점과 기울기가 주어진 직선의 방정식’을 이용합니다. 오른팔을 나타내는 선분의 왼쪽 끝점인 (2, -2)를 지나는 직선의 방정식은

이므로

를

로 바꿉니다. 이때 a는 이 직선의 기울기를 나타내는 변수입니다. 슬라이더 a를 클릭해 a의 범위를 0.5 ≤ a ≤ 1로 바꾸고, 왼쪽에 있는 재생 버튼 아래에 있는 ‘애니메이션 속성’에서 속력을 20x로 설정합니다. 재생 버튼을 클릭하면 나를 보고 반갑게 미소 지으며 팔을 흔드는 눈사람이 완성됩니다.[그림 5]

이번에는 오른쪽 눈을 깜빡이며 윙크를 하도록 만들어볼까요? 원을 위아래로만 작아졌다 커지게 할 것입니다. 선택 과목인 <기하>에서 배우는 이차곡선인 타원의 방정식을 활용합니다. 오른쪽 눈을 나타내는 식

을

로 바꾸고, 추가된 슬라이더 b에서 b의 범위를 0.2 ≤ b ≤ 1, ‘애니메이션 속성’에서 ‘애니메이션 모드’는 ‘한 번 재생’, 속력은 ‘15x’로 설정합니다. 슬라이더 b의 재생 버튼을 클릭하면 눈사람이 눈을 깜박이면서 윙크하는 모습을 볼 수 있습니다.[그림 6]

링크(https://www.desmos.com/calculator/lytjndn5fi)에 접속하면 결과물을 확인할 수 있습니다. 여러분은 여기서 그치지 말고 배경에 눈이 내리게 하는 등 더 다양하게 변형하고 새롭게 만들어보세요.

단순히 문제 풀이에만 사용하던 수학 공식들이 살아 움직이는 경험, 꽤 짜릿하지 않나요? Desmos에서는 해마다 ‘아트 콘테스트’(https://www.desmos.com/art?lang=ko)를 개최합니다. 이번 방학을 이용해 이 대회에 도전해보는 것은 어떨까요?

홍창섭 경희여고 수학교사

2025=452 이므로 2025년은 완전제곱수의 해였고, 2026=452+1 이므로 2026년은 완전제곱수에서 한 단계 나아가는 해입니다. 2026년은 완전했던 작년보다 한층 더 성장하고 도약하는 한 해가 되길 바랍니다.

새해 복 많이 받으세요.