[재미있는 수학] 천체 움직임 설명 위해 삼각함수 등장

(39) 삼각비와 삼각함수

삼각함수는 천문학, 건축, 항해, 공학 등 수많은 분야에서 활용되며, 그 응용 범위는 끊임없이 넓어지고 있습니다. 고대부터 현대에 이르기까지 삼각함수는 인류가 자연 현상과 구조물 설계, 그리고 복잡한 계산을 수행하는 데 필수적인 도구로 자리 잡았습니다.

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삼각비와 삼각함수 중 어떤 개념이 먼저 발견되었을까요? 먼저 삼각비는 고대 그리스에서 시작된 개념으로, 기하학에서 삼각형의 각과 변의 관계를 설명하기 위해 사용되었습니다. 고대 그리스의 수학자들은 직각삼각형에서 각도와 변의 비율을 계산하는 방법을 연구했으며, 이를 바탕으로 삼각비 개념이 발전했습니다. 예를 들어, 피타고라스는 직각삼각형의 변 사이 관계를 설명하는 ‘피타고라스 정리’를 세웠고, 이는 삼각비의 기초적 아이디어와도 연결됩니다. 반면 삼각함수는 훨씬 후대에 나타난 개념입니다. 삼각비를 체계화한 후, 19세기에 들어서야 삼각함수가 등장하게 됩니다.

그리스-로마 시대부터 수학자들은 다양한 도형을 기본 삼각형으로 나누어 분석했고, 특히 삼각형의 세 변 길이의 비율에 큰 관심을 가졌습니다. 이를 보다 정확히 파악하기 위해 등장한 것이 바로 삼각비입니다. 삼각비는 직각삼각형에서 정의되며, 그 핵심은 각도와 변의 길이 사이 관계를 설명하는 데 있습니다. 삼각비의 기본은 직각삼각형에서 시작하며, 사인(sin), 코사인(cos), 탄젠트(tan)라는 세 가지 중요한 개념으로 정리합니다.

먼저 sin은 직각삼각형에서 주어진 각의 대변의 길이를 빗변의 길이로 나눈 값을 의미합니다. 반대로 cos은 주어진 각의 인접변의 길이를 빗변의 길이로 나눈 값입니다. 마지막으로 tan는 주어진 각의 대변의 길이를 인접변의 길이로 나눈 비율로 정의합니다. 이 세 가지 삼각비는 직각삼각형에서 각과 변의 관계를 설명하는 가장 중요한 도구로, 고대 수학자들이 삼각형의 특성을 분석하는 데 필수적 역할을 했습니다.

이렇게 직각삼각형에서 정의한 삼각비는 다양한 기하학적 문제를 해결하는 데 중요한 역할을 했으며, 삼각형의 각과 변 사이의 관계를 명확하게 표현하는 수단으로 사용했습니다. 삼각비는 강의 폭을 측정하는 데 쓰여 홍수가 범람하지 않도록 막는 데 기여했고, 피라미드를 비롯한 대형 건축물에서 경사각과 높이를 정확하게 계산하는 데도 활용했습니다. 또 고대인은 직각을 측정하기 위해 길이를 3, 4, 5로 이어 만든 밧줄을 사용했는데, 이는 피타고라스 정리를 기반으로 한 실용적 방법이었습니다. 이러한 방식으로 삼각비는 고대부터 다양한 실생활 문제를 해결하는 중요한 도구로 자리 잡았습니다.

유클리드를 비롯한 여러 수학자는 삼각비를 집대성하며 그 이론을 더욱 체계적으로 발전시켰습니다. 이후 과학과 천문학이 점차 진화하면서도 삼각비만으로는 해결할 수 없는 복잡한 문제가 등장했고, 이에 삼각비와 관련한 함수의 필요성이 대두하기 시작했습니다. 특히 천체의 움직임과 같은 주기적 현상을 설명하기 위해서는 삼각함수가 필수였죠. 이에 따라 삼각비는 단순한 기하학적 개념을 넘어 삼각함수로 확장되었고, 다양한 과학적 연구에서 중요한 역할을 하게 되었습니다.

이를 위해 직각삼각형이 아닌 좌표평면을 확장하는 방식을 사용했습니다. 원점을 중심으로 하고 반지름이 r인 원을 그린 후, 그 원 위에 있는 점의 좌표를 (x,y)로 설정합니다. 각도를 정의하기 위해 기준선이 필요한데, 이를 위해 양의 x축을 시초선으로 설정하고, 반시계 방향을 양의 방향으로 삼았습니다. 기존에 직각삼각형에서 사용하던 삼각비와 자연스럽게 연결하기 위해 사인(sin) 함수는 그 점의 y좌표를 반지름으로 나눈 값, 코사인(cos) 함수는 x 좌표를 반지름으로 나눈 값, 그리고 탄젠트(tan) 함수는 y 좌표를 x 좌표로 나눈 값으로 정의했습니다. 좌표평면을 기반으로 한 sin, cos, tan 함수는 여전히 직각삼각형에서 대변, 빗변, 인접변의 비율로 정의한 삼각비와 동일한 값을 가집니다. 즉 좌표평면에서 정의된 삼각함수는 직각삼각형에서의 삼각비와 일치하도록 만들어졌습니다. 예를 들어, 직각삼각형에서 사인은 빗변에 대한 높이의 비였고, 좌표평면에서는 반지름에 대한 y 좌표의 비로 동일하게 적용됩니다. 이렇게 함으로써 삼각함수는 직각삼각형과 좌표평면 모두에서 사용할 수 있는 개념으로 확장했습니다. 별과 행성의 위치를 계산해 선박의 위치를 정확히 파악하거나 터널의 경사와 곡선을 계산해 철도망을 확장하는 데 삼각함수는 중요한 역할을 했습니다. 삼각함수는 건축에서 교량이나 대형 구조물 설계의 안정성을 보장하는 데에도 기여했습니다.

정경호 한국삼육고 교사

좌표평면을 통해 정의된 삼각함수는 천문학, 건축, 항해, 공학 등 수많은 분야에서 활용되며, 그 응용 범위가 계속해서 확대되고 있습니다. 고대부터 현대에 이르기까지 삼각함수는 인류가 자연현상과 구조물 설계, 그리고 복잡한 계산을 수행하는 데 필수 도구로 자리 잡았습니다. 앞으로도 삼각함수는 우리가 직면한 새로운 도전을 해결하는 데 중요한 역할을 할 것입니다.