[재미있는 수학] 뉴턴은 물리학, 라이프니치는 기하학에서 이론 정립

(9) 미분의 탄생

미드저니

수학에서 가장 어렵고 중요한 비중을 차지하는 단원은 미적분입니다. 이렇게 어려운 영역을 중시하는 이유는 미분이 마법 같은 함수이기 때문입니다. 미분을 통해 우리는 주어진 시간 동안 어떤 변화가 일어나고 있는지 정확하게 파악할 수 있습니다. 우주의 움직임부터 금융시장의 변동까지 모두 미분의 원리를 기반으로 합니다. 미분의 필요성과 그 중요성에 대해 좀 더 깊이 탐구해봅시다.

미분은 과연 누가 먼저 생각했을까요? 17세기 중반, 미분의 최초 발견을 둘러싼 논란이 독일 라이프니츠(1646~1716)와 영국 뉴턴(1643~1724) 사이에 펼쳐졌습니다. 1665~1666년에 뉴턴이 미분을 발명했다고 주장했으나, 라이프니츠는 1676년에 자신도 미분을 발견했다며 이를 반박했습니다. 이러한 논쟁은 둘 다 미분의 구체적인 내용을 발표하기 전 서로에게 자신의 결과를 자랑한 뒤, 미분을 주제로 서신을 주고받는 상황에서 비롯됩니다. 뉴턴은 1671년에 미분을 주제로 논문을 작성했지만 발표하지 않았고, 라이프니츠는 미분의 구체적인 설명이 담긴 편지를 자신이 먼저 보냈다고 주장했습니다. 이 같은 논란은 잉글랜드 학회와 독일 학회의 갈등으로까지 확산되었습니다. 한편에선 두 사람이 각각 다른 방식으로 발전시킨 것이라는 새로운 주장이 나오기도 했습니다.

아이작 뉴턴의 미분 발명은 사과가 떨어지는 모습을 보며 만유인력의 법칙을 떠올린 유명한 일화로부터 시작됩니다. 뉴턴은 이 경험을 통해 물체가 떨어질 때 중력의 영향을 간접적으로 느끼고 자연현상을 더 깊이 이해하기 위한 탐구에 몰두하게 됩니다. 그후 한없이 커지는 양을 ‘유량’이라 하고, 독립변수인 시간에 대한 유량의 변화율, 즉 흐름의 속도를 ‘유율’이라 명명합니다. x값에 유율을 더한 것이 y값에 유율을 더한 것과 같다는 것을 기반으로 물체가 통과하는 거리를 알고, 그 속도를 찾아내는 미분을 고안해낸 것입니다. 뉴턴은 물체의 움직임을 정확하게 예측하기 위해 위치에 관한 함수를 미분하면 속도, 속도를 미분하면 가속도라는 내용을 강조하기 위해 기호를 사용했습니다.

● 물체의 위치를 f(x)라고 하자.

● 물체의 속도는 f(x)를 미분하여 f'(x)로 표현한다.

● 물체의 가속도는 f'(x)를 미분하여 f"(x)로 표현한다.

뉴턴의 역학적인 연구는 미분의 개념을 체계적으로 도입하고, 이를 통해 물체의 운동을 정확하게 기술하는 데 큰 성공을 거두었습니다. 이러한 발견은 물리학뿐 아니라 공학, 천문학, 우주학 등 다양한 분야에서 미분의 개념을 토대로 한 현대적 과학의 발전을 이끌었습니다. 그의 미적분학적인 방법은 현대 수학의 중요한 출발점 중 하나가 되었습니다.

뉴턴이 수학을 물리적 문제를 해결하기 위한 도구로 생각하면서 미적분법에 도달했다면, 라이프니츠는 수학이 인간의 사유를 합리적으로 표현하는 ‘보편 수학’이라는 철학적 바탕 위에서 미적분법을 정립했습니다. 뉴턴의 접근이 물리학적이었다면 라이프니츠의 접근은 기하학적이었습니다. 라이프니츠는 기하학적 곡선이나 표면의 특정 점에서의 기울기를 이해하고자 했는데, 이것이 미분의 아이디어로 이어지게 됩니다. 특정 점에서 함수의 그래프와 가장 가까운 직선은 그 점에서의 접선이며, 이는 곡면의 기울기를 나타냅니다. 라이프니치는 이러한 접선의 특성을 이해하고 정확하게 계산하기 위해 미분의 개념을 도입했습니다.

그의 위대한 업적 중 하나는 ‘Δ’ 기호를 도입해 함수의 미세한 변화를 표현한 것입니다. 이는 미분의 아이디어를 수학적 표기법으로 처음 정립한 것으로 평가받고 있습니다. 라이프니츠는 논문 ‘델타와 시그마에 관한 새로운 통선법’에서 함수의 미분에 대한 체계적 접근을 제시했습니다. 그는 ‘Δx’가 0으로 수렴할 때의 ‘Δy/Δx’를 함수의 순간 변화율로 정의했습니다. 이것은 현대적 미분의 정의와 유사한데, 함수의 작은 변화에 대한 극한을 표현한 것입니다. ‘Δ’를 활용한 기호는 현대 수학에서 많이 사용하고 있습니다.

뉴턴과 라이프니치는 동시대에 미분의 개념을 각자의 분야에서 발전시킨 인물들입니다. 물리학자이며 수학자인 뉴턴은 역학을 연구하며 미분의 핵심을 발견했습니다. 그는 물체의 운동을 정확히 모델링하고 예측하기 위해 시간에 따른 변화를 이해하는 필요성을 깨닫고, 이를 통해 미분법의 기초를 마련했습니다. 철학자이자 수학자인 라이프니치는 함수와 그래프를 연구하며 미분의 중요성을 이해했습니다. 그는 변화의 개념을 그래프상에서 어떻게 표현할 수 있는지에 대한 탐구를 통해 미분의 이론을 정립했습니다.

정경호 한국삼육고 교사

이처럼 다양한 발상에서 비롯한 미분의 개념은 각각 다른 분야에서 출발했지만, 결국 공통된 이론으로 통합되었습니다.