생글생글

최준원의 수리 논술 강의노트

'치환적분과 부분적분법' 문제해결력이 당락 결정

적분 단원은 미적분 교과과정상 마지막에 배우는 과정이기 때문에 대부분의 학생이 아직 수능과 논술 모두 완성도가 높지 않은 모습을 보여주고 있다. 그러나 수리논술에서 미적분을 출제하는 대부분의 대학은 학생들의 교과 개념 및 추론능력을 종합적으로 점검할 수 있는 마지막 관문으로서 적분 문항을 반드시 출제하기 때문에 이를 유념할 필요가 있다. 적분 단원에서는 특히 치환적분과 부분적분법에 대한 문제해결력이 당락을 결정짓는 마지막 요소이므로 이를 대비하는 훈련을 꾸준히 해야 한다. 수리논술 '적분법' 대비 포인트1. 여러 가지 함수-삼각함수,지수함수,로그함수 의 미분법 공식을 확실하게 암기할 것.- 적분 계산력의 기초 완성2. 치환적분과 부분적분법의 기본 개념과 원리를 교과서를 통해서 확실하게 이해하고 연습할 것.- 논술 답안에서는 요령이 아닌 기본원리를 이해하고 있음을 표현해야 함.

학습 길잡이 기타

AI오류 잡아내고 행성 움직임까지 측정

“10년이면 강산이 변한다”는 옛말에서 10년을 1초로 바꿔도 손색이 없을 만큼 현대사회의 변화 속도는 더욱 빨라졌습니다. 이처럼 급변하는 시대에서 변화를 분석하고 예측할 수 있는 방법이 있을까요? 그 답은 바로 미분에 있습니다. 미분은 변화의 순간을 포착하고, 그 속도와 방향을 분석하는 강력한 도구입니다. 미분을 통해 우리는 복잡한 현실을 수학적으로 이해하고, 그래프를 통해 그 변화를 시각적으로 표현할 수 있습니다. 이제 미분이 어떻게 우리의 일상과 과학, 기술에 응용되는지 살펴보겠습니다.높이가 100m인 언덕과 높이가 200m인 언덕이 있습니다. 어떤 언덕이 더 가파를까요? 사실 이 정보만으로는 두 언덕 중 어느 쪽이 더 가파른지 알 수 없습니다. 이를 판단하려면 언덕의 시작점에서 가장 높은 지점까지의 가로 길이를 알아야 합니다. 수학적으로 가로 길이는 x, 높이는 y로 표현할 수 있습니다. 그러므로 y값을 x로 나누면 언덕의 가파름을 알 수 있습니다. 이 값을 수학적으로 ‘기울기’라고 부르며, 가로 길이의 변화를 x의 증가량, 높이의 변화를 y의 증가량이라고 합니다. 결국 기울기는 y의 증가량을 x의 증가량으로 나눈 값으로 정의할 수 있습니다.x의 증가량이 0에 가까울 만큼 작아진다면 특정한 x값에서의 기울기를 구할 수 있습니다. 이 값을 ‘미분계수’라고 하며, 이는 순간 변화율을 나타냅니다. 즉 한 점에서 함수의 기울기를 측정한 값으로, 이는 그 점에서 함수의 그래프의 접선 기울기와 같습니다. 이 과정을 x에 대한 y의 미분이라고 부르는데, 이는 수학자 라이프니츠가 미분의 개념을 정의한 중요한 내용입니다.실제로 복잡한 방정식이나 함수들은 실생

학습 길잡이 기타

뉴턴은 물리학, 라이프니치는 기하학에서 이론 정립

수학에서 가장 어렵고 중요한 비중을 차지하는 단원은 미적분입니다. 이렇게 어려운 영역을 중시하는 이유는 미분이 마법 같은 함수이기 때문입니다. 미분을 통해 우리는 주어진 시간 동안 어떤 변화가 일어나고 있는지 정확하게 파악할 수 있습니다. 우주의 움직임부터 금융시장의 변동까지 모두 미분의 원리를 기반으로 합니다. 미분의 필요성과 그 중요성에 대해 좀 더 깊이 탐구해봅시다.미분은 과연 누가 먼저 생각했을까요? 17세기 중반, 미분의 최초 발견을 둘러싼 논란이 독일 라이프니츠(1646~1716)와 영국 뉴턴(1643~1724) 사이에 펼쳐졌습니다. 1665~1666년에 뉴턴이 미분을 발명했다고 주장했으나, 라이프니츠는 1676년에 자신도 미분을 발견했다며 이를 반박했습니다. 이러한 논쟁은 둘 다 미분의 구체적인 내용을 발표하기 전 서로에게 자신의 결과를 자랑한 뒤, 미분을 주제로 서신을 주고받는 상황에서 비롯됩니다. 뉴턴은 1671년에 미분을 주제로 논문을 작성했지만 발표하지 않았고, 라이프니츠는 미분의 구체적인 설명이 담긴 편지를 자신이 먼저 보냈다고 주장했습니다. 이 같은 논란은 잉글랜드 학회와 독일 학회의 갈등으로까지 확산되었습니다. 한편에선 두 사람이 각각 다른 방식으로 발전시킨 것이라는 새로운 주장이 나오기도 했습니다.아이작 뉴턴의 미분 발명은 사과가 떨어지는 모습을 보며 만유인력의 법칙을 떠올린 유명한 일화로부터 시작됩니다. 뉴턴은 이 경험을 통해 물체가 떨어질 때 중력의 영향을 간접적으로 느끼고 자연현상을 더 깊이 이해하기 위한 탐구에 몰두하게 됩니다. 그후 한없이 커지는 양을 ‘유량’이라 하고, 독립변수인 시간에 대한 유량의 변화율, 즉 흐름의

생글기자

변화를 분석하는 '수학 미분', 일상의 경제적 선택에 도움

수학의 ‘미분’은 이해하기 어려워 학생들에겐 ‘고통’ 그 자체다. 하지만 미분의 중요성을 강조하는 책과 수학자, 선생님들은 넘쳐난다. 왜일까? 경제 기사를 읽다 보면 한계비용, 한계효용 등의 단어가 자주 나온다. 한계비용은 물량이 한 단위 증가할 때 발생하는 총비용의 변화를 뜻한다. 한계효용은 소비 단위가 하나 증가할 때마다 추가로 늘어나는 효용을 의미한다. 두 개념 모두 ‘변화’라는 공통 개념이 바탕에 깔려 있다. 미분은 이런 변화를 분석하는 것이다. 그 결과가 ‘한계효용 체감의 법칙’ 등과 같은 경제적 개념으로 정리돼 사회와 경제를 이해하는 기초를 제공한다. 경제학은 제한된 자원이란 제약 아래에서 가장 합리적인 선택이 무엇인지 연구하는 학문이다. 여기서 ‘미분’이라는 도구는 굉장히 중요하다. 최적의 의사결정을 내릴 수 있는 경제 조건을 구하도록 해주는 한계효용·한계비용과 같은 개념을 도출하는 데 쓰이기 때문이다. 더욱이 현대 사회와 경제는 갈수록 복잡해지고 있다. 일정하게 증가하거나 일정하게 감소하는 것은 없다. 경제적 수치는 완만하게든, 급격하게든 변화한다. 이런 가운데 미분이라는 분석 도구를 잘 활용한다면 변화 속 ‘최적의 조건’을 찾을 수 있다. 미국 수학자 윌리엄 포그 오스굿은 “미적분은 진리를 이해하는 데 큰 도움을 준다”고 했다. 끊임없이 변화하는 사회와 역사 속 진리를 찾으려는 노력을 미분 개념이 돕고 있는 것이다. 미분은 삶에서 동떨어진 개념이 아니다. 우리 주변에서 쉽게 발견할 수 있는 친숙한 요소다. 미분을 잘 이해하면 일상의 경제적 선택에서도 큰 도움을 얻을 수 있다. 고통이 ‘기쁨’으로 바뀌는 순간을 경

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벡터·함수·미분·확률…수학과 화해해요

수학을 싫어하게 된 결정적 시기가 여러분에게 있었을 것입니다. 초등 고학년? 중학교? 고등학교? 셋 중 하나죠. 수학을 좋아하게 된 계기도 있었을 것입니다. 100점을 맞았다든가, 좋아한 쌤이 수학쌤이었다든가, 그런 거죠. 전부가 수학을 잘할 필요는 없지만, 수학에 적대적일 필요는 없지요. 수학은 언제나, 누구에게나 애증의 과목이니까요. #1. 결정적 계기 만나기수학자 중에 앤드루 와일즈라는 사람이 있어요. 인류 최대의 난제라는 ‘페르마의 마지막 정리’를 300여 년 만에 증명한 수학자죠. 17세기 프랑스 수학자 피에르 드 페르마가 낸 문제는 단순했습니다. [Xn+Yn=Zn. n이 3 이상의 정수일 때 이 방정식을 만족하는 정수해 x, y, z는 존재하지 않는다]였죠. 그가 수학을 좋아하게 된 결정적 계기는 1963년 찾아 왔습니다. 학교 수업을 마치고 우연히 마을 도서관에 들어간 열 살짜리 아이는 《최후의 문제》라는 책 속에서 이 문제를 만났습니다. 아이는 문제 모양이 신기하다고 생각했습니다. 이 아이가 평생 ‘페르마의 마지막 정리’에 꽂혀서 끙끙거리게 될지 누가 알았겠습니까. 앤드루 와일즈는 1993년 6월 영국 케임브리지대학에서 수많은 사람이 보는 가운데 풀었습니다. 마을 도서관, 《최후의 문제》라는 책…, 수학이 좋아지게 되는 계기를 만나면 좋겠습니다. #2. 수학과 화해하기수학을 대하는 마인드와 시각을 바꾸는 첫째 화두는 ‘수학과 화해하기’입니다. 이과생들은 수식이 가득한 책을 줄줄 읽고, 문제를 보면 바로 풀 것이라고 문과생들은 오해하죠. 아닙니다. 이과생도 수학을 싫어하고 잘 못합니다. “수학이 내 적성과 맞지 않구나”라며 지레 겁을 먹