[재미있는 수학] 표준점수화로 개인의 상대적 위치 알 수 있어

(22) 선택과목 난도 차이 어떻게 비교할까

모의평가, 대학수학능력시험 등에서는 과목 간 난이도 차이에 따른 불평등을 해소하기 위해 표준점수를 사용하고 있습니다. 학교에서 배운 수학이 실생활에서 사용되고 있음을 확인하고, 그 원리도 함께 이해하기 바랍니다.

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지난 4일 고등학교 3학년 학생들을 대상으로 일명 ‘6모’라고 불리는 6월 모의평가를 실시했습니다. 6월 모의평가는 대학수학능력시험을 출제하는 한국교육과정평가원에서 그해 수험생의 능력 수준을 파악하고, 오는 11월 14일에 치를 예정인 2025학년도 대학수학능력시험의 난이도 조절을 위해 실시하는 중요한 시험입니다.

모의평가를 할 때면 탐구영역의 선택과목을 어떻게 정할지도 중요합니다. 보통 선택과목은 학생들의 과목 내용에 대한 흥미도나 진로, 대학 전공을 고려해 선택하거나, 과목 난이도를 고려하는 등 다양한 이유로 선택과목을 정합니다. 그런데 학생들이 선택한 과목은 난이도가 서로 다른데, 성적을 어떻게 비교할 수 있을까요?

예를 들어 학생 A의 과목 B와 과목 C의 성적 정보가 다음과 같다고 합시다.

과목 B와 과목 C 중 어느 과목을 더 잘했다고 볼 수 있을까요? 이를 비교하기 위해 바로 표준점수 개념이 적용됩니다.

표준점수는 수험생의 성적 분포(평균 및 표준편차)에 따라 난이도를 감안해 다시 매긴 점수입니다. 학생 개인의 성적인 원점수를 표준점수로 변환하는 방법은 여러 가지가 있는데, 먼저 Z 점수에 대해 알아봅시다. 시험 점수 X의 평균이 m, 표준편차가 σ일 때, Z 점수를 구하는 식은

입니다. 이 Z의 평균과 표준편차를 구해보겠습니다.

E(X)=m, V(X)= σ²이므로 Z의 평균인 E(Z)를 구하면

E(Z)

Z의 분산인 V(Z)를 구하면

V(Z)

표준편차는 분산의 양의 제곱근이므로＝１

입니다.

따라서 각 과목의 원점수를 표준점수 Z로 변환하면 평균이 0점, 표준편차가 1점이 됩니다. 즉 난이도가 서로 다른 과목의 기준을 똑같이 맞추게 되어 서로 점수 비교가 가능하게 됩니다.

앞의 예에서 과목 B와 과목 C의 표준점수 Z를 각각 계산하면 1.625점, 1.333…점이 됩니다.

그런데 이 Z점수는 음수가 나올 수 있고, 수치가 작아서 점수로 사용하기 곤란한 점이 있습니다. 이를 보완한 것이 T점수고, 모의평가·대학수학능력시험 등에서는 바로 이 T점수를 사용합니다. 선택과목의 T점수의 식은

이고,

E(T)

V(T)

,

=10

따라서 표준점수 T를 이용하면 각 과목의 기준을 평균 50점, 표준편차 10점으로 맞춰 난이도가 서로 다른 과목을 비교할 수 있게 됩니다.

앞의 예에서 과목 B와 과목 C의 표준점수 T를 계산해보면 과목 B는 66.25점, 과목 C는 63.333…점이므로 과목 B가 과목 C보다 원점수는 낮았지만 표준점수가 더 높아서 더 잘했다고 볼 수 있습니다.

이렇게 하면 이론적으로 T점수가 원점수의 상대적 위치를 알려줌으로써 과목 간 난이도의 편차에 따른 문제점을 보완해줍니다. 그러나 이 또한 선택과목 간 응시자 집단의 수준이 달라서 발생하는 문제점을 보완하지는 못하므로 과목 간 점수의 우열을 비교할 때 절대적으로 완벽한 기준을 제공하는 것은 아닙니다.

홍창섭 경희여고 교사

이 내용은 고등학교 ‘확률과통계’ 과목의 이산확률변수의 기댓값과 표준편차 단원에서 더 자세히 공부할 수 있습니다. 그리고 표준점수의 종류와 장단점이 무엇인지, 모의평가에서 국어, 수학, 영어의 표준점수 변환식은 무엇인지, 표준점수를 적용하는 시험은 또 어떤 시험이 있는지, 서로 기준이 다른 것을 똑같이 맞추는 사례가 어떤 것이 있는지 등을 추가로 알아보시면 좋겠습니다. 사실 표준점수로 변환하는 방법은 모의평가 성적표 뒷면에 자세히 나와 있습니다. 이번 모의평가 성적표를 받게 되면 성적표 뒷면도 한번 살펴보면서 실생활에서 사용되는 것이 학교에서 배운 수학임을 알고, 그 원리까지 이해하는 계기가 되길 바랍니다.