최준원의 수리 논술 강의노트

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'빛의 성질'을 기하.미분으로 풀어보면...

2027학년도 연세대 자연계 논술에서는 과학제시문이 활용된 문항이 출제되며 2028학년도 입시부터는 문이과 구분없이 통합 수능으로 모든 학생이 동일한 문제를 풀게 되는 등 향후 입시의 방향은 통합에 초점이 맞춰져 있다. 따라서 이번에는 수학과 과학이 통합된 주제를 다루어 보기로 한다.수학과 과학이 통합된 주제 중 ‘빛의 성질–반사와 굴절’은 자주 다루어지는 소재이다. 내용을 직관적으로 이해하기 쉽고 수학적인 계산으로 이를 바로 확인할 수 있어 수리논술 주제로 곧잘 활용되기도 한다. 이에 대한 개념을 수학적으로 학습하고 관련 문제 유형을 점검하여 실전에서 이를 적용할 수 있도록 해보자.최준원 분당 미래탐구 수리논술연구소 소장
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상위권대 수리논술 합격의 관건은?

게티이미지2028학년도 대입 제도 개편에 따라 수리논술 전형이 어떻게 변화할지 관심을 모읍니다. 변화의 방향은 크게 4가지로 요약됩니다. 수리논술 전형의 네가지 변화첫째, 수능 최저학력기준의 확대입니다. 연세대·시립대·인하대 등 기존에 수능 점수 없이 논술 실력만으로 승부를 볼 수 있었던 대학들이 2028학년도 논술 전형에서 수능 최저기준을 전면 도입했으며, 이화여대·건국대 등은 기존의 수능최저 조건을 보다 강화했습니다.⦁ 연세대 : 국어·수학을 포함한 3개 영역 등급 합 6 이내 (영어 3등급, 한국사 4등급)⦁ 서울시립대 : 3개 영역 등급 합 7 이내, 한국사 4등급⦁ 인하대 : 2개 영역 등급 합 6 이내⦁ 이화여대 : 2개 영역 등급 합 5 이내에서 3개 영역 등급 합 7 이내로 변경 강화⦁ 건국대 : 2개 영역 등급 합 5 이내에서 3개 영역 등급 합 8 이내로 변경 강화이제 서울과 수도권 주요 대학 중 수능 최저가 없는 곳은 중앙대 재학생논술(기존 창의형)·다빈치 캠퍼스 등 극소수로 좁혀졌으며, 수능 최저를 맞추지 못해 발생하는 실질 경쟁률 하락이 당락의 핵심 변수가 될 전망입니다. 2028학년도 주요대학 논술전형 개요 대학 전형(명칭) 모집인원 전형방법 수능최저 연세대 논술 334 논술 100 3합6(국수포함) + 영어 3 + 한국사 4 고려대 논술 367 논술 100 4합8 + 한국사 4 성균관대 논술우수 (수리/언어형) 376 논술 100 3합7 / 3합6 서강대 논술 170 논술 80 + 교과 10 + 출결 10 3합7 + 한국사 4 한양대 논술 289 논술 90 + 출결 10 3합7 중앙대(서울) 모두의 논술 359 논술 80 + 교과 10 + 출결 10 3
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2027 수리논술 전략, 알파와 오메가는?

미적분 자신있다면 '중앙대 창의형' 주목의약학 지망생은 약술형 논술로오는 10월 3일 홍익대와 서울시립대 및 성신여대를 시작으로 2027학년도 수리논술 고사의 대장정이 시작된다. 올해 수리논술 전형은 눈여겨볼 것들이 많으므로 해당 내용과 함께 2027학년도 수리논술 전형의 전반적인 사항들을 짚어보기로 하자. 2027학년도 주요대학 논술전형 변경 사항 논술신설 및 변경 중앙대 창의형(고3전용, 일반형과 중복지원가능) 가천대 한의예·약학과 논술 신설 삼육대 약학과 논술 신설 연세대 과학논술 부활(통합과학 범위내 출제 논술 폐지 연세대 치의예, 연세대미래 의예, 경북대 약학과, 단국대 의·치의예 논술 100% 한양대, 가톨릭대 수능최저완화 홍익대 (3합8 --> 2합5) 올해 수리논술의 가장 큰 이슈는 역시 중앙대의 고3만 응시할 수 있는 ‘창의형 논술전형’ 신설이라고 할 수 있다. 출제범위도 기존 중앙대의 출제범위에 들어있었던 기하 및 확률과 통계가 제외되면서 공통범위와 미적분에서만 출제가 이루어진다. 또한 수능최저도 적용하지 않으므로 선택과목과 수능최저에 부담을 갖고 있는 학생이라면 자신있게 도전해볼 만하다.가천대는 올해부터 한의예 및 약학과 논술이 신설되고 삼육대 약학과도 논술선발이 실시된다. 따라서 의·약학계열에 도전하려는 수험생이라면 약술형 논술에도 주목할 필요가 있다.올해부터 통합과학 범위내에서 ‘과학논술’을 다시 출제하면서 현재 과학논술을 실시하는 대학은 연세대, 경희대(의학계열), 아주대(의예과)이다. 2027학년도 과학논술 실시대학 연세대 경희대 의
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2027학년도 약술형 수리논술 합격전략은?

지난 7월 서울 건국대에서 모의 논술고사를 치르는 학생들. 뉴스11,036명을 약술형 논술전형으로 선발하는 가천대를 포함해 2027학년도 논술전형에서는 4000여 명을 약술형 논술로 선발합니다(표1 참고). 작년에는 국민대가 논술전형을 부활시키면서 약술형 논술을 도입했고, 올해에도 가천대 삼육대 등에서 의·약학 계열의 논술전형 선발인원을 신설했습니다. 2027학년도 논술전형에서 약술형 논술전형은 모집인원의 규모와 내용면에서 큰 비중을 차지합니다.이렇듯 논술전형에서 큰 축을 담당하고 있는 약술형 논술전형에서 확실하게 합격의 결과를 이뤄내려면 잘 준비된 대비 과정이 선행되어야 합니다. 자연계열의 약술형논술에서는 수학의 비중이 절대적인 만큼 약술형 수리논술을 정복할 수 있는 대비전략에 대해 알아보겠습니다.<표1> 2027학년도 약술형 논술전형 개요 대학 반영비율 수능최저 모집인원 논술일정 가천대 논술 100 1개 3(탐구 1개) *바이오로직스 : 2합5 (탐구 1개) *의예과 : 3개 각 1(탐구평균) *한의예과 : 2개 각 1 (과탐적용시 2과목 모두 1) *약학과 : 3합5 (탐구평균) 1036명 11/29, 의예/한의/약학 11/30, 인문 12/1, 자연 한국외대 논술 100 2합6 (탐구 1개) 452명 11/29 수원대 논술 80 + 교과 20 최저없음 434명 11/21, 자연 11/22, 인문 서경대 논술 100 최저없음 214명 11/1 삼육대 논술 100 1개 3 (탐구 1개) *약학과 : 3합5 277명 11/23~11/24 홍익대세종 논술 90 + 교과 10 1개 4 (탐구 1개) 195명 11/22 동덕여대 논술 100 2합6 (탐구 1개) 266명 11/28 한국공학대 논술 80 + 교과 20 최저없음 200명 11/22 한국기술교육대

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무한연금의 가치는 얼마일까?

복리의 가치를 알려주는 그림. 게티이미지만약 1년 뒤부터 매년 무한하게 연금을 지급받게 된다면 이 연금의 가치는 얼마나 될까? 이는 ‘무한히 지급받게 될 연금을 지금 당장 일시불로 받는다면 얼마를 받을 수 있겠는가’와 동일한 질문이다. 그리고 이 질문에 대한 답은 “물가(금리)에 따라 다르다”이다. 물가가 거의 오르지 않는 사회에서라면 말 그대로 무한한 가치를 갖는 연금이 될 것이다. 하지만 살인적인 인플레이션을 겪는 저개발 국가라면 무한연금의 현재가치는 휴짓조각에 지나지 않을 것이다. 이와 관련된 수리논술 문항을 살펴보자.<제시문>오늘 은행의 예금계좌에 현금을 입금하면 1년 뒤에 입금한 금액의 5%를 이자로 받을 수 있다고 하자. 예컨대 오늘 100만원을 이 계좌에 입금을 하면 1년 뒤에는 100만원×5%=5만원의 이자와 원금 100만원을 합하여 105만원의 돈을 가지게 된다. 이 때 1년 후에 받게 될 105만원을 오늘 입금하는 100만원의 미래가치라고 생각할 수 있다.반대로 오늘 입금하는 100만원은 1년 후에 가지게 되는 105만원의 현재가치라 한다. 정리를 하면, 105만원=100만원+100만원×5%=100만원×(1+0.05)이고,100만원=105만원/(1+0.05)이다. 일반적으로 1년 이자율을 r 이라고 하면, 1년 후에 받게 될 C원의 현재가치는 C/1+r 로 계산 할 수 있다.그러면 은행에 예금을 하고 2년을 기다리면 어떻게 될까? 위의 예에서 우선 1년 뒤에 원금 100만원과 이자 5만원이 예금계좌에 기록이 된다. 이 105만원을 원금으로 다시 2년 뒤에는 105만원에 대한 5% 이자가 발생하게 된다. 따라서 2년 후에 가지게 되는 금액은 105만원×(1+0.05)=100만원×(1+0.05)²이 된다. 이를 이자가 다시
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주사위 6번 던지면 1부터 6까지 다 나올까?(당연히 안됨, 근데 600번 던지면?) [논술길잡이]

주사위를 던질 때 1, 2, 3, 4, 5, 6의 눈이 나올 확률은 각각 1/6로 똑같다. 그렇다고 해서 주사위를 실제로 6번 던지는 동안 각 숫자가 정확히 한 번씩 나오지는 않는다. 그러나 컴퓨터 시뮬레이션을 돌려 주사위를 던지는 횟수를 60번, 600번 식으로 늘려가면 각 숫자가 나올 확률은 거의 1/6로 수렴한다는 것을 실제로 확인할 수 있다. 즉 시행횟수를 한없이 늘려가면 이론적인 수학적 확률과 실제로 관찰되는 통계적 확률이 일치하게 되며, 이를 ‘큰수의 법칙’이라고 한다. 이항분포와 정규분포의 관계는 이러한 개념에 바탕을 두고 있으며, 수리논술에서도 높은 비중으로 자주 출제되고 있다. 여러 다양한 분야의 통계적인 상황을 제시문으로 주고 이를 수학적 확률로 계산해 결론을 도출하는 큰 흐름을 이해한다면 이항분포와 정규분포의 문제를 어려움 없이 해결할 수 있을 것이다.▶이항분포와 정규분포 유형 수리논술 대비 포인트◀1. 이항분포의 수학적 확률 공식을 반드시 암기할 것- 확률변수 X가 이항분포 B(n, p)를 따르면 E(X)=np, V(X)=npq- 공식의 유도 과정은 참고만 하고, 공식의 결과만 적용하면 됨.2. 시행 횟수 n이 충분히 크면 이항분포는 정규분포로 해석할 것- 이항분포의 확률에서 시행 횟수 n이 지수적으로 계산되므로 n은 10 이상이면 충분히 크다고 볼 수 있음.- 실제 문제에서는 시행 횟수 n의 값이 몇십, 몇백 등으로 주어지므로 정규분포 문제로 해석해 풀면 됨.3. 모집단과 표본집단의 관계에서도 동일한 관계를 적용- 모집단이 정규분포를 따르면 표본집단은 n의 크기에 관계없이 정규분포를 따른다.- 모집단이 정규분포를 따르지 않더라도 표본 추출 횟수 n의 값이 10 이상이면 정규
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출제위원: "이거 다 섞으면 애들 다 틀리겠지?" (전 맞출 건데요🔥) [논술길잡이]

급수와 정적분의 관계에 대한 문제는 수리논술에서 높은 빈도로 꾸준히 다뤄지고 있다. 하나의 문제에서 수열과 극한 및 정적분의 개념에 대한 이해도를 모두 평가할 수 있는 좋은 유형이기 때문이다. 여기에 평균값 정리까지 결합해 출제하면 교과과정에 충실하면서도 여러 개념이 복합되면서 체감 난도가 매우 높아져 변별력을 충분히 확보할 수 있게 된다.이 과정에서 하나의 유형이 여러 대학의 기출문제에서 다양하게 파생돼 출제된다는 사실을 이해할 필요가 있다. 따라서 급수와 정적분에 대한 개념을 확실하게 이해하고 다양한 기출문제를 풀어보며 익힌 개념을 다시 확인해보는 훈련을 꾸준히 해야 한다.▶급수와 정적분 유형 대비 핵심포인트◀1. 곡선의 영역과 직사각형의 넓이를 비교할 것.- 감소함수(또는 증가함수)일 때 정적분의 넓이와 직사각형의 넓이를 비교- 직사각형을 오른쪽과 왼쪽으로 각각 세워 두 개의 부등식을 유도하는 것이 포인트.2. 급수와 극한이 결합된 유형- 급수와 극한 문제의 결론은 ‘샌드위치 정리’임을 기억할 것.- 수열의 극한 문제에서 식이 복잡하고 어려운 경우에도 샌드위치 정리로 해결.3. 급수와 평균값정리가 결합된 유형- 대체로 식이 매우 복잡하고 어려운 경우에 해당함.⇒ 마지막 킬러문항일 확률이 높음.- 평균값정리는 이를 단순하고 쉬운 식으로 바꿔주는 역할을 함.
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“설마 나오겠어?” 하다가 뒤통수 맞는 수리논술 단골손님 [논술길잡이]

수리논술에서 출제된 기하 문항은 이전에는 주로 이차곡선이나 벡터 위주였지만, 최근에는 공간도형에서도 자추 출제되고 있다. 기하 과목의 마지막 단원인 공간도형은 이면각의 크기, 삼수선의 정리, 정사영, 좌표공간 등의 다양한 용어와 개념으로 구성된다.논술에서 출제되는 공간도형 문항을 분석해보면 해당 개념들이 쓰이는 목적에 충실하게 출제되고 있다는 것을 알 수 있다. 예를 들면, 직선과 평면의 수직관계를 파악하기 위해 삼수선의 정리를 활용하는 문제를 출제하거나 두 평면이 이루는 각을 직접 계산하기 어려울 때 정사영 관계를 이용해 각의 크기를 구하는 문제를 출제하는 경우다. 따라서 공간도형 단원을 학습할 때 여러 다양한 용어와 개념을 정확히 익히고 그 쓰임새에 맞게 해당 개념을 활용하는 문제풀이 훈련을 꾸준히 해야 한다.▶공간도형 수리논술 대비 학습포인트◀1. 교과서에서 정의된 용어를 정확히 익힐 것.- 이면각의 크기, 삼수선의 정리, 정사영, 좌표공간의 용어 정의와 개념을 정확하게 익혀야 함.2. 주요 공간도형 개념들의 사용 목적을 잘 이해할 것.- 삼수선의 정리 → 직선과 평면의 수직관계를 파악- 정사영 → 두 평면이 이루는 각을 정사영의 길이 또는 넓이 관계로부터 간접적으로 구함

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