최준원의 수리 논술 강의노트
-
최준원의 수리 논술 강의노트산술·기하평균 부등식 등호 성립할 때가 최소일까?
수리논술에서 주로 출제되는 절대부등식 중 하나가 산술·기하평균 부등식이다. 특히 최솟값을 구할 때 산술·기하평균 부등식을 사용한다. 이때 주의할 점은 부등식의 등호가 성립할 때가 항상 최소일 때인지를 확인해 봐야 한다는 점이다. 대개 부등식의 우변이 상수로 고정되면 등호가 성립할 때가 최소일 때와 일치하지만, 우변이 좌변의 변숫값에 따라 같이 변할 때는 부등식의 등호가 성립할 때와 최소일 때가 항상 일치하는 것은 아니다. 아래 예시 논제를 통해서 두 가지 경우를 비교해 보면서 논리적 결론을 내릴 수 있도록 연습해 보자. 포인트산술·기하평균 부등식은 우변이 상수일 때에만 최솟값으로서의 의미를 갖는다.
-
최준원의 수리 논술 강의노트도함수의 활용 - 이계도함수 및 속도와 가속도
도함수의 활용 단원은 수리논술에서 자주 출제되는 부분이다. 특히 곡선의 오목과 볼록을 판단할 때 사용되는 이계도함수를 비롯한 속도와 가속도에 관한 내용 등이 많이 출제된다. 이들 내용은 미분법 전체를 고르게 이해하고 있어야 문제 풀이가 매끄럽게 이루어지는 만큼 변별력이 높은 편이다. 따라서 곡선의 오목과 볼록에 대한 정의 및 속도와 가속도의 정의를 정확하게 숙지하고, 이들 개념을 문제 해결에 올바르게 활용할 수 있어야 한다. 아래 예시 논제를 통해 관련 내용을 살펴보자. 포인트곡선 위 임의의 두 점 P, Q를 이은 곡선 부분이 선분 PQ보다 아래쪽(위쪽)에 있으면 아래로 볼록(위로 볼록)이다. 시각 t에서의 위치를 미분하면 속도이다. 시각 t에서의 속도를 미분하면 가속도이다.
-
최준원의 수리 논술 강의노트함수 연속성의 궁극적 의미를 이해하자
지난 호 기사(6월 26일자 16면) 예시 논제에서 살펴봤던 함수의 연속성 의미를 좀 더 보완해 확실하게 점검하자. 수리논술을 본격적으로 준비하지 않은 학생들에게 함수의 연속이 무엇인지 물어보면 대부분 기계적으로 “좌극한=우극한=함숫값”이라고 답한다. 물론 수능에서는 이 공식으로도 문제가 해결된다. 그러나 논증 추론의 유형, 즉 증명 유형으로 문제가 나오면 위의 공식만으로는 한계에 부딪히는데, 가장 큰 이유는 함수의 연속성이 지니는 의미를 제대로 이해하지 못했기 때문이다. 수리논술에서 출제되는 논증 추론 유형의 문제 대부분이 함수의 연속성 문제로 귀결되므로 예시 논제를 통해서 문제의 접근 및 해결 과정을 점검해보자. 포인트다음은 함수의 연속성으로 귀결되는 증명 유형의 예시 논제다. 미분 가능하면 연속임을 증명하시오 롤의 정리를 증명하시오 합성함수의 미분공식 f(g(x))}′=f′(g(x))g′(x)을 증명하시오 음함수/매개변수/역함수의 미분 공식을 증명하시오
-
최준원의 수리 논술 강의노트논제 조건이 부족하다고 판단될 때의 해결책은?
현행 수리논술도 수능과 마찬가지로 교과 과정 내에서 출제되고 있지만, 수능에 비해 비교적 짧은 기간에 출제와 검토가 이뤄지는 만큼 출제 오류의 가능성을 완전히 배제할 순 없다. 특히 큰 범주의 오류는 없더라도 세부 조건이 누락될 가능성이 있다. 이 경우 수험생이 대처할 수 있는 방법은 논술 답안 작성 시 ‘해당 조건’에 대한 내용을 함께 기술하는 것이다. 이것은 논술이라는 시험의 특성을 최대한 활용해 채점자로 하여금 수험생의 학업 역량을 최대한 평가할 수 있도록 하는 좋은 방법 중 하나다. 따라서 수험생들은 답안 작성 시 조건이 부족하거나 애매하다고 느낀 지점이 있다면 가능한 한 그 부분까지 기술하는 습관을 들이는 것이 좋다. 포인트논술 답안 작성 시 조건이 누락됐다고 판단되면 그 부분을 아래 예시와 같은 방법으로 기술하면 된다. 예시) ‘역함수가 연속이라는 가정을 전제로 하여’ 역함수의 미분가능성을 조사하면 다음과 같다.… (해당 수식 기술) ※ 바로잡습니다 생글 6월 12일자 16면 표의 일부 내용을 다음과 같이 바로잡습니다. 한국외대글로벌(자연) 논술고사 일정 : 11.25(토)→ 11.26(일) 건국대 수리논술 출제범위 : 수학, 수학Ⅰ, 수학Ⅱ, 미적분, 확률과통계 → 수학, 수학Ⅰ, 수학Ⅱ, 미적분, 기하, 확률과통계
-
최준원의 수리 논술 강의노트주요대학 미적분·기하 출제…목표 따른 전략 세워야 2025학년도 연세대·고려대 논술, 고2 상위권에 기회
2024학년도 논술전형 1만1214명 선발…올해 9월 23일 첫 시험2024학년도 논술고사는 올해 9월 23일(토)부터 치러진다. 수능 전 논술을 보는 대학은 연세대 성신여대 홍익대 시립대, 가톨릭대(자연, 간호) 서경대 등 6개 대학이며 나머지 대학은 수능 이후인 11월 18일(토)부터 12월 3일(일)까지 순차적으로 시험을 치른다. 논술전형 선발 인원 추이를 보면 2022학년도 한 차례 30% 이상 감소한 이후 전체적으로 선발 인원이 일정하게 유지되는 가운데 동덕여대 삼육대 한신대 고려대(2025년) 등 일부 대학이 논술을 신설할 예정이어서 2025학년도(1만1266명 논술선발)까지 소폭 상승 흐름을 보인다. 주요 대학 기준으로 보면 전체 모집 정원의 10~15%를 논술로 선발하고 있으며 이는 학생부교과 전형 선발 인원과 비슷한 수준이다. 2024학년도 주요 대학별 수리논술 변경 사항 숙지해야 2024학년도 수리논술에 도전하는 수험생이 알아야 할 주요 사항을 정리하면 다음과 같다. 1) 대학별 수리논술 출제범위 확인 … 주요 대학 미적분·기하·확률과통계 출제 2) 논술선발 신설 … 이화여대(약학) 동덕여대 외 3) 내신 미반영 및 수능 최저 변경 대학 확인 … 이화여대 경희대 서강대 가톨릭대(간호) 외 4) 수능 전 논술고사 대학 일정 확인 … 연세대 성신여대 외 주요 대학 미적분·기하 출제…확률과 통계는 고1 수학과 연계해 학습 시 효과적 2022학년도부터 치러진 선택형 수능이 자리를 잡으면서 이와 연계해 주요 대학의 논술고사도 충분히 예측 가능한 수준으로 출제되고 있다. 논술을 준비하는 수험생이라면 대학별 논술고사의 출제 범위와 유형을 숙지하고 이에 따른 논술 대비 전략을 세울 필요가 있다. 2024학년도 수시모집 요강
-
최준원의 수리 논술 강의노트'미분 가능성'과 '연속성'의 논리 관계
수리논술에서 출제되는 가장 기본적인 증명 문제라고 할 수 있는 ‘미분 가능성’을 묻는 경우 많은 학생이 거의 예외 없이 ‘연속성’을 판단하는 과정, 즉 ‘우극한=좌극한=함숫값’을 먼저 설명한 뒤에 다시 미분계수를 조사하는 순서로 답안을 작성한다. 이는 미분 가능성과 연속에 대한 논리 관계를 잘못 이해했기 때문이다. 미분 가능성이 연속성을 전제로 하는 건 맞지만 미분 가능성을 판단하기 위해 반드시 연속성을 확인해야 하는 건 아니다. 연속이지만 미분 가능하지 않은 반례가 있기 때문이다. 예시 논제를 통해서 이들 간 논리관계를 올바르게 이해해 보자. 포인트※미분 가능성은 연속성을 전제로 한다. (O) ※연속은 미분 가능하기 위한 필요조건이다. (O) ※미분 가능성을 조사하려면 연속성을 먼저 조사해야 한다. (×) ∵ 연속이지만 미분 가능하지 않은 반례가 존재한다.
-
최준원의 수리 논술 강의노트합성함수의 미분법에서 ∆u=0일 때는?
미적분 과목의 미분법 단원을 이수한 이과생이라면 합성함수의 미분법 공식, 즉 두 함수 y=f(u), u=g(x)가 미분가능할 때 합성함수 y=f(g(x))의 도함수가 y′=f(g(x))}′=f′(g(x))g′(x)로 주어짐을 잘 알고 있을 것이다. 그런데, 이 공식은 y/x=(y/u)×(u/x)와 같이 평균변화율의 변형으로 얻어지며 분모가 0이 아닐 때, 즉 u≠0 일 때 유도되는 공식이다. 그러나 결과적으로 u=0 일 때에도 공식이 성립함을 이해하고 사용할 수 있어야 한다. 다만 교과과정을 넘어서는 엄밀한 방법의 증명까지는 요구되지 않으며, u=0 일 때에도 ‘형식적으로’ 공식이 성립함을 이해하는 것으로 충분하므로 본문의 증명 과정을 잘 이해하고 공식을 사용할 수 있도록 하자. 포인트논술답안 작성시 미분의 개념과 도함수의 표현을 정확하게 사용할 수 있도록 주의하자. ※ 미분은 ‘기울기의 극한’이다. ※ ‘기울기의 극한’ = ‘접선의 기울기’ ※ 미분계수(도함수) = 순간변화율 = (순간)변화율 = 증가율 = 기울기의 극한 = 접선의 기울기 = dy/dx
-
최준원의 수리 논술 강의노트1+(-1)+1+(-1)+ … 의 값은 0.5일까?
만일 누군가 위의 급수에 대해 ‘짝수 항까지만 더하면 1-1+1-1+ … +1-1=0이고, 홀수 항까지만 더하면 1-1+1-1+ … +1=1이므로 이 급수의 값은 두 합의 평균인 0.5다’라고 주장한다면 어떨까? 이렇게 무한과 관련해 오개념이나 혼란을 경험하게 되는 이유는, 유한에서 성립하는 연산법칙(결합법칙)을 무한에 적용했기 때문이다. 실제로 극한의 개념이 정립되기 전에는 수학자들 사이에서도 이렇게 급수의 수렴, 발산과 관련해 논란이 있었음을 알 수 있다. 수리논술에서도 급수의 수렴 판단에 대한 논리적 추론 문제가 자주 출제되므로 미적분에서 배운 급수의 개념을 올바르게 적용해 문제를 해결하자. 포인트급수에서 덧셈기호 + 는 형식적인 기호임을 유의한다. 즉, 유한개의 합에서 성립하는 연산법칙을 적용할 수 없다. 예를 들어, S=1+(-1)+1+(-1)+1+(-1)+ … -S=(-1)+1+(-1)+1+(-1)+ … 두 식을 빼면 2S=1이므로 S=0.5 또는 결합법칙을 적용하면 1+(-1)}+1+(-1)}+1+(-1)}+ … =0 1+1+(-1)}+1+(-1)}+1+(-1)}+ … =1 이처럼 모순적인 결과를 얻은 이유는 유한에서 성립하는 성질을 무한에서 무리하게 사용했기 때문이다.