[재미있는 수학] 그리스시대 '도형의 넓이' 구하며 발전

(21) 적분의 탄생

적분은 단순히 수학적인 개념을 넘어 우리의 일상에 필수적인 문제들, 특히 넓이와 부피 같은 기본적인 계산을 해결하는 강력한 도구로 자리 잡았습니다. 적분은 고대부터 현대에 이르기까지 수학과 과학의 발전에 필수적인 역할을 해왔으며, 앞으로도 그 중요성은 계속될 것입니다.

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미분과 적분 중 어느 것이 먼저 발견되었을까요? 또 그 시기의 차이는 얼마나 될까요?

미분은 17세기에 그 모습을 드러냈습니다. 미분과 함께 호도법, 함수 등 수학의 근본을 형성하는 개념들도 이 시기에 급격히 발전했습니다. 그러나 적분의 이야기는 훨씬 오래전으로 거슬러 올라갑니다. 이 칼럼에서는 적분이 고대로부터 어떻게 발전해 현대 수학의 중심축이 되었는지 탐구해보겠습니다.

고대 그리스 시대, 아르키메데스는 그의 저작 <포물선의 구적법>에서 수학적 증명을 통해 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이가 내접하는 삼각형 넓이의 4분의 3배가 된다는 것을 밝혔습니다. 아르키메데스는 포물선을 가로지르는 직선을 한 변으로 하는 내접삼각형을 그리는 방법으로 시작했습니다. 그는 이 삼각형을 기반으로 포물선을 두 구간으로 나누고, 이 과정을 반복해 무수히 많은 내접삼각형을 그려나갔습니다.

이러한 과정을 통해 아르키메데스는 초기에 그린 삼각형의 넓이를 ‘1’로 설정하고, 모든 삼각형의 넓이 합을 계산하는 공식을 도출했습니다. 이 연속된 접근 방식은 기하학적 적분의 초기 형태를 보여주며, 수학사에서 중요한 발견으로 평가받습니다. 아르키메데스의 이 방법은 단순한 수학적 호기심을 넘어 복잡한 도형의 넓이를 계산하는 방법론의 기초를 마련했습니다.

갈릴레이의 제자인 카발리에리는 다각형이 아닌 평면도형의 넓이나 입체도형의 부피를 구하는 방법에 대한 놀라운 방법을 제시했습니다. 두 입체를 같은 평면에 평행한 다수의 평면으로 자를 때 잘린 부분의 면적이 일정 비율을 유지한다면, 그 입체의 전체 부피도 같은 비율을 유지한다는 것에서 착안했습니다.

이 원리를 활용해 구의 부피를 계산하는 예를 들어보면, 구를 반으로 자른 각 단면과 원기둥에서 원뿔을 뺀 도형의 단면이 같은 크기로 나타나는 것을 확인할 수 있습니다. 카발리에리의 원리에 따라 반구의 부피는 원기둥의 부피에서 원뿔의 부피를 뺀 결과와 같습니다. 원기둥의 부피에서 원뿔의 부피를 빼면 결과적으로 반구의 부피가 나오며, 구의 전체 부피는 이 반구 부피의 두 배가 된다는 것을 설명할 수 있습니다.

시기가 지나고 아이작 뉴턴과 고트프리트 라이프니츠는 미분과 적분을 독립적으로 발전시키며 현대 미·적분학의 기초를 마련했습니다. 그들은 미분의 역연산으로서 적분을 이해했으며, 이는 함수의 전체 변화량을 계산하는 새로운 방법을 제시했습니다. 이들의 작업은 미적분학의 기본 정리를 형성하는 데 결정적 역할을 했습니다.

19세기에 베른하르트 리만은 적분에 대해 수학적으로 엄밀한 정의를 제시했습니다. 리만 적분은 연속함수의 적분을 그 함수 위 구간에서의 리만 합의 극한으로 정의합니다. 이 엄밀한 접근은 수학적 분석의 정밀함을 높였고, 적분이 더 복잡한 수학적 문제를 해결하는 데 사용될 수 있음을 보여주었습니다.

그 후, 1902년 앙리 르베그는 리만 적분을 확장해 더 일반적인 함수들을 다룰 수 있는 르베그 적분을 도입했습니다. 르베그 적분은 특히 리만 적분으로 다룰 수 없는 함수에 대해서도 적분을 가능하게 했으며, 이는 현대 수학, 특히 확률론과 실해석학에서 중요한 도구가 되었습니다.

적분은 단순히 수학적 개념을 넘어 우리의 일상에 필수적인 문제, 특히 넓이와 부피 같은 기본적인 계산을 해결하는 강력한 도구로 자리 잡았습니다. 수학자들은 미분의 역연산을 통해 이러한 문제들을 어떻게 해결할 수 있는지 탐구했고, 그 결과 적분이라는 놀라운 발견을 이뤄냈습니다. 이는 수학이 단순한 계산을 넘어 우리 생활 속 깊숙이 자리 잡고 있음을 보여주는 사례로, 실제적인 도전을 우아하고 효율적으로 해결할 수 있는 실질적 해결책을 제공합니다.

정경호 한국삼육고 교사

적분의 이러한 역할은 수학이 단지 추상적 아름다움을 지닌 학문이 아니라, 실생활에서 중요한 역할을 하는 생생한 과학임을 확실히 증명합니다. 적분은 고대부터 현대에 이르기까지 수학과 과학의 발전에 필수적 역할을 해왔으며, 앞으로도 그 중요성은 계속될 것입니다.