[재미있는 수학] 어려운 수학적 개념 한눈에 보여주죠

(15) 함수의 그래프

함수의 그래프는 수학적인 개념을 시각적으로 보여주는 도구로서, 복잡한 데이터나 관계를 직관적으로 이해할 수 있게 해줍니다. 또 함수의 그래프를 통해 우리는 현상을 예측하고, 실험을 통해 검증할 수 있습니다.

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함수의 그래프를 그리는 이유는 무엇일까요? 그래프는 무엇일까요? 이 질문들은 우리가 함수의 그래프에 흥미를 느끼고 궁금해하는 이유입니다. 그래프는 수학적 개념을 시각적으로 나타내는 도구로, 함수의 동작과 관계를 직관적으로 이해하는 데 도움을 줍니다. 하지만 이 그래프가 정확히 어떻게 우리를 도와주는지, 그 중요성은 무엇인지에 대한 이해는 더 깊은 관심을 자아냅니다. 이러한 궁금증을 풀기 위해 함수의 그래프가 우리에게 어떤 의미를 갖는지 알아보겠습니다.

우리 생활에서 접하는 두 자료 사이의 관계를 함수라고 한다고 지난 칼럼에서 소개했습니다. 그래프라는 말 대신 그림이라는 말을 썼다면 학생들이 함수의 그래프를 더 쉽게 생각 할 수 있지 않을까 고민한 적이 있습니다. 어떤 대상을 자주 보고 다양한 방법으로 보는 것이 그 대상을 잘 알 수 있는 방법이라고 생각합니다. 함수의 그래프는 두 자료 사이의 관계를 더 잘 이해할 수 있는 방법입니다.

현명한 노비가 자신의 일당을 첫날에는 쌀 한 톨, 둘째 날에는 쌀 두 톨, 셋째 날에는 쌀 네 톨…. 이렇게 두배로 올려달라고 했다는 전래동화 들어보셨을 것입니다.

그림1

이것을 수식으로 표현하면 지수함수인 y=2x입니다. 이를 매일 1개씩 늘려가는 함수인 y=x와 비교하는 것은 식으로는 불가능합니다. 하지만 이것을 그래프[그림 1]로 표현하면 다음과 같습니다.

눈으로 그림을 확인하면 그 차이를 확연하게 느낄 수 있지요. 이것이 그래프를 그리는 이유입니다.

그림2

코로나19 환자 수가 급격하게 증가한 경우를 예로 들어봅시다. 만약에 지수함수처럼 늘었다면 환자 수는 계속 증가했겠지요. 하지만 코로나19 환자 수는 로그함수의 형태로 늘었습니다. 이를 그래프[그림 2]로 표현하면 다음과 같습니다. 그래프로 나타내게 되면 증가 폭이 눈으로 확연하게 드러나는 장점도 있지만, 그것만이 장점이라면 굳이 그래프로 표현하지는 않았을 수도 있습니다.

그림3

y=x라는 것은 함수이기도 하지만, x-y=0이라는 방정식이기도 합니다. 방정식의 해를 구하기 위해서는 무조건 수식을 계산해야 합니다. 하지만 이를 그래프로 그리면 해가 없는 것도 눈으로 확인할 수 있습니다. x2-4x+5=0의 실수해는 존재하지 않습니다. 이유를 알 수 없었지만, 함수 y=x2-4x+5를 그래프로 표현하면 [그림 3]과 같습니다. 이는 x축과 만나는 점이 없기에 해가 없음을 설명할 수 있습니다.

이뿐이 아닙니다. 원을 수식으로도 표현할 수 있습니다. x2+y2=1, 이는 중심이 (0,0)이고 반지름이 1인 원을 수식으로 표현한 것입니다. 그리스·로마 시대에는 원뿔을 자르면 여러 가지 모양의 곡선이 나타나는 것을 알았습니다. 수학자들은 이 곡선들을 수식으로 표현하는 방법을 찾았습니다. 그리고 이 곡선들이 형성되는 원리를 찾아냈습니다. 실생활에 존재하는 곡선과 직선들을 식으로 바꾸는 것이 함수의 그래프가 하는 역할입니다.

정경호 한국삼육고 교사

함수의 그래프는 현실 세계를 이해하고 다양한 현상을 모델링하는 데 필수적입니다. 그림을 식으로 표현하고, 함수식을 그림으로 표현하는 작업을 통해 우리는 대상을 다각도로 살펴볼 수 있습니다. 이를 통해 우리는 과학을 발전시키고 사회적 이론을 만들어 낼 수 있습니다. 함수의 그래프는 수학적인 개념을 시각적으로 보여주는 도구로서, 복잡한 데이터나 관계를 직관적으로 이해할 수 있게 해줍니다. 또 함수의 그래프를 통해 우리는 현상을 예측하고, 실험을 통해 검증할 수 있습니다. 이러한 과정을 통해 우리는 과학적 이론을 발전시키고, 사회문제에 대한 해결책을 모색할 수 있습니다.