[재미있는 수학] '집합과 명제'는 논리적 사고력 키울 수 있어

(8) 수학과 논리

수학은 모든 단원에서 추론(reasoning) 과정을 공부할 수 있는 과목입니다. 그 중에서도 ‘집합과 명제’ 단원은 이러한 논리적 사고방식을 수학적 기호를 활용해 연습할 수 있는 거의 유일한 단원입니다. 논리적 추론을 크게 구분하면 연역적 추론과 귀납적 추론이 있습니다.

어떤 사람이 논리적이라는 표현은 칭찬으로 이해되는 경우가 많지만 그렇지 않은 경우도 있습니다. 예를 들면, 성격 유형 검사인 MBTI와 관련해 다양한 오해와 선입견으로 ‘T’가 밈(meme)화 되고 있는 현상이 그렇습니다. 그럼에도 논리적 생각은 고차원의 사고 활동에서 필수적이고 중요한 수단이자 과정입니다.

고교 교육과정에서는 논리학을 가르치지 않지만 학생들은 여러 과목을 통해 자연스럽게 논리적으로 무엇이 옳고 그른 것인지 알 수 있게 됩니다. 특히 수학은 모든 단원에서 추론(reasoning) 과정을 공부할 수 있는 과목입니다. 특히 ‘집합과 명제’ 단원은 이러한 논리적 사고방식을 수학적 기호를 활용해 연습할 수 있는 거의 유일한 단원입니다. 그래서 이 단원을 논리학의 기초적인 내용과 연계해 이해하면 유익합니다.

논리적 추론을 크게 구분하면 연역적 추론과 귀납적 추론이 있습니다.

예를 들어, [근거 1: 오늘 비가 오면 행사가 취소된다. 근거 2: 오늘 비 예보가 있다. 주장: 행사는 취소될 것이다.] 라는 논증을 봅시다. 이는 전형적인 연역적 추론으로서 형식적으로는 A이면 B이다, A이다, 그러므로 B이다. 라고 볼 수 있습니다. A와 B자리에 어떤 문장이 들어오더라도 근거로 쓰는 문장들이 참이라면 주장은 항상 참이 될 수 밖에 없습니다.

다른 예를 들어봅시다. [근거 1: 어제 해가 떴다. 근거 2: 그제 해가 떴다. 근거 3: 1년 전에도 해가 떴다. 근거 4: 100년 전에도 해가 떴다. 주장: 그러므로 내일도, 앞으로도 계속 해가 뜰 것이다.] 이런 형태의 논증은 귀납추론이라고 합니다. 귀납추론의 근거들은 경험적으로, 사례 위주로 주장을 뒷받침합니다. 근거가 많을수록 강한 추론이 되며 주장에 대한 신뢰도가 올라가게 됩니다. 그러나 100% 참이 될 수 없기에 반례에 취약하죠.

2개의 추론은 서로를 보완하는 장단점을 가지고 있습니다. 연역추론은 (참인 근거)+(옳은 형식)=(참인 주장) 이 나오기에 신뢰할 수 있으며, 수학적 증명을 하기에 적합하지만 기존에 없던 새로운 사실을 발견하는 도구로서는 부적합합니다. 반면에 귀납추론은 근거가 아무리 많아도 아직까지는 맞지만 새로운 발견에 의해 틀릴 가능성이 존재합니다. 그러나 규칙과 패턴에 의해 새로운 사실 발견의 단서와 방향이 되기에 과학적 연구에 적합합니다.

두 가지 방식 중 명제 단원에서 연관성을 찾을 수 있는 것은 연역추론입니다. 특히 연역적으로 옳은 형식은 크게 구분해 네 가지가 전부이며 단순하기에 이해하기도 쉽습니다.

연역 추론 형식의 첫 번째로는 위에서 다루었던 논증 형식으로 전건 긍정식이라 합니다. [근거 1: 오늘 비가 오면 행사가 취소된다. 근거 2: 오늘 비 예보가 있다. 주장: 행사는 취소될 것이다.]에서 근거 1 명제의 전건을 근거 2가 긍정하며 주장을 뒷받침하고 있음을 볼 수 있습니다.

두 번째로는 후건 부정식이라 하며 다음과 같이 예를 들어 볼 수 있겠습니다. [근거 1: 오늘 비가 오면 행사가 취소된다. 근거 2: 행사가 취소되지 않았다. 주장: 비가 오지 않았을 것이다.] 이 형식에서 익숙한 느낌이 든다면 바로 맞습니다. 이는 명제에서의 대우명제와 본질적으로 같습니다.

세 번째로는 가정적 삼단논법 혹은 연쇄논법이라고도 불리는 형식입니다. [근거 1: 오늘 비가 오면 행사가 취소된다. 근거 2: 행사가 취소되면 바로 집에 갈 것이다. 주장: 오늘 비가 오면 바로 집에 갈 것이다.] 이 논증은 연역추론의 대표적 예시라고 볼 수 있습니다. 이 형식으로 풀 수 있는 문제들을 명제 단원에서 자주 볼 수 있습니다.

네 번째로는 선언적 삼단논법입니다. 재미를 위해 다소 논쟁적인 예를 들어보도록 하겠습니다. 내용보다는 형식에 집중해주세요. [근거 1: 탕수육의 올바른 섭취법은 소스를 부어 먹거나 찍어 먹는 것이다. 근거 2: 소스를 부어먹는 것은 올바른 섭취법이 아니다. 주장: 소스는 찍어 먹는 것이 올바른 섭취법다.] 이 형식은 A 또는 B를 선언하고 둘 중 하나를 배제함으로써 다른 하나가 참임을 주장하는 형식의 논증입니다. 수학 문제를 풀 때 여러 개의 값 중 조건에 맞지 않는 값을 소거해나가는 과정이 이 논증을 하고 있는 것이라고 할 수 있습니다.

기호로 표현하자면 왼쪽 표와 같습니다. 모든 연역 추론은 위 형식들의 합주와 변주라고 해도 과언이 아닙니다. 적절한 귀납 추론까지 사용한다면 뛰어난 ‘T’로서 오류 없이 사회생활을 잘할 수 있다고 믿습니다.

이정현 푸른숲발도르프학교 교사