[재미있는 수학] 명제는 단순한 문장이 아닌 수학적 사고의 출발점

(30) 명제를 배우는 이유

명제 단원이 단순히 수학적인 개념에 머무르지 않고, 실생활에서도 중요한 역할을 한다는 사실을 간과해서는 안 됩니다. 컴퓨터 과학에서의 알고리즘 설계, 법률에서의 논리적 추론, 과학적 연구에서의 가설 검증 등 다양한 분야에서 명제는 핵심적인 도구로 사용됩니다.

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명제의 개념은 무엇이며, 이를 배우는 이유는 무엇일까? 이번 칼럼에서는 이러한 질문에 대한 답을 찾아보고자 한다. 현 교육과정의 명제 단원에서는 명제와 조건의 뜻을 이해하고, 충분조건, 필요조건, 필요충분조건, 증명, 역과 대우에 대해 배운다. 명제는 참과 거짓을 명확히 알 수 있는 문장이나 식을 의미한다. 예를 들어, ‘한국에서 사과가 재배되고 있다’는 명제이지만, ‘사과는 맛있다’는 명제가 아니다. 사람마다 맛에 대한 생각이 다르기 때문이다. ‘사과는 빨간색이다’ 역시 명제가 아니다. 익지 않은 사과나 녹색 사과도 있기 때문이다. ‘OO이는 키가 175cm 이상이다’는 명제이지만, ‘OO이는 키가 크다’는 명제가 아니다. 절대적인 참과 거짓을 나타내는 문장이나 식을 수학적 명제라고 한다. 명제 단원의 기본 내용들을 살펴보자.

변수를 포함하는 문장이나 식이 변수의 값에 따라 참, 거짓을 명확하게 판별할 수 있을 때, 그 문장이나 식을 조건이라 한다.

명제 p에서 ‘p가 아니다’를 명제 p의 부정이라고 하고 기호는 ‘～p’이다.

용어의 뜻을 간결하고 명확하게 정한 문장을 그 용어의 정의라고 한다.

정의나 이미 옳다고 밝혀진 성질을 이용해 주어진 명제가 참임을 설명하는 과정을 증명이라고 한다.

참임이 증명된 명제 중에서 기본이 되는 것을 정리라고 한다.

명제의 부정에서는 ‘모든’과 ‘어떤’이라는 단어를 신중하게 고려해야 한다.

조건 p와 q가 있을 때 명제 ‘p이면 q이다’에서 p를 가정이라고 하고 q를 결론이라고 한다.

‘p이면 q이다’를 기호로 ‘p→ q’로 표현할 수 있다.

명제 ‘p이면 q이다.’에서 p와 q의 위치를 바꾼 ‘q이면 p이다’는 역명제이다.

명제 ‘p이면 q이다.’에서 ‘～q→～p’은 대우명제이다.

명제 ‘p이면 q이다.’가 참이면 p는 q의 충분조건이다.

명제 ‘p이면 q이다.’가 참이면 q는 p의 필요조건이다.

명제 ‘p이면 q이다’와 ‘q이면 p이다’가 참이라면 p와 q는 필요충분조건이다.

명제는 실생활에서 많이 사용된다. 한국에서 ‘의사는 대학을 졸업했다’라는 문장은 명제다. 이 명제의 역명제는 ‘대학을 졸업하면 의사다’라는 것이고, 대우명제는 ‘대학을 졸업하지 않았다면 의사가 아니다’라는 것이다. 이를 보면 명제가 참이면 역명제가 반드시 참이 아닐 수 있다는 사실을 바로 알 것이다. 하지만 명제가 참이라면 대우명제는 반드시 참이라는 것을 진리집합으로 증명해낼 수 있다.

이처럼 고등학교 수학 단원 중에서 명제는 수학 기호나 숫자가 거의 보이지 않는 단원이다. 이 내용을 고등학교에서 가르치는 나라는 많지 않으며, 일본, 인도네시아, 프랑스가 대표적이다. 특히 조건, 충분조건, 필요조건, 필요충분조건, 역과 대우 등은 우리나라와 일본의 교육과정에만 포함되어 있다. 이는 명제 단원이 우리나라와 일본에서 특수한 사례임을 보여준다. 이러한 교육과정은 논리적 사고와 추론 능력을 기르기 위해 중요한 역할을 한다. 다른 나라와 달리 우리나라와 일본에서는 논리적 사고를 중시해 이러한 내용을 고등학교 교육과정에 포함하고 있다.

명제 단원이 단순히 수학적 개념에 머무르지 않고, 실생활에서도 중요한 역할을 한다는 사실을 간과해서는 안 된다. 컴퓨터 과학에서의 알고리즘 설계, 법률에서의 논리적 추론, 과학적 연구에서의 가설 검증 등 다양한 분야에서 명제는 핵심적 도구로 사용된다. 예를 들어, 프로그래밍에서 조건문을 작성할 때, 명제를 기반으로 한 논리적 판단이 필요하다. 이러한 논리 구조는 명제를 통해 체계적으로 학습할 수 있다. 이처럼 명제는 수학적 사고를 넘어 우리 삶의 다양한 영역에서 실질적 문제 해결 능력을 키우는 데 기여한다. 명제를 잘 이해하고 활용하는 것은 단순한 수학적 능력을 넘어, 논리적 사고와 창의적 문제 해결력을 높이는 중요한 과정이다.

정경호 한국삼육고 교사

그리스 시대부터 시작된 논리는 유클리드에 의해 ‘기하학 원론’이라는 이데아로 구체화되었다. 그러나 수학은 공리를 변화시키고 새로운 기하학을 창조하며, 대수와 조합론에서 또 다른 이데아를 완성해왔다. 이 과정에서 증명은 필수적이었으며, 그 증명을 뒷받침하는 논리의 기초가 바로 명제다. 명제 단원은 이러한 논리를 이해하고, 체계적으로 사고할 수 있도록 돕는다. 실생활에서도 논리적 사고는 매우 중요하므로, 이 단원을 통해 논리적인 생각을 하는 삶을 영위해나가야 할 것이다.