[재미있는 수학] 문제를 '이해-계획-실행-검토' 단계로 풀면 사고력 향상

(23) 발견술

문제 풀이의 방법론적 접근을 ‘발견술’이라고 합니다. 영어로 ‘Heuristics’로 번역되며, 경험적 방법이란 뜻으로 해석됩니다. 우리 머릿속에서 일어나는 일은 크게 이해-계획-실행-검토 단계로 구분할 수 있습니다. 문제가 풀리지 않는다면 각 단계를 검토할 필요가 있습니다.

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학교마다 약간씩 다르겠지만, 기말고사 준비로 바쁠 때입니다. 시험 준비를 하다 보면 공부의 내적 의미를 찾지 못하고 목표 점수를 얻기 위한 외적 보상에 매달리기 쉽습니다. 이런 과정은 장기적으로 학생들에게 좋지 않은 결과를 가져다주기에, 이를 바라보는 교사로서 모순된 감정의 시선을 갖곤 합니다.

수학 문제를 기계적 적용 방법이나 유형을 암기해 푸는 방식은 장기적으로 수학 실력을 쌓는 데 별 도움이 되지 않습니다. 문제를 풀기 위해서는 적절한 방법을 구상하고, 이해한 지식을 조합해 논리적으로 추론·계산해야 합니다. 그 과정에서 내적 즐거움을 느낄 수 있습니다.

결론적으로는 문제 풀기 자체가 흥미로워야 하는데, 이게 쉽지 않습니다. 상위권인 학생은 상위권대로, 하위권인 학생은 하위권대로 고충이 있습니다. 수학을 하나의 RPG 게임이라고 생각한다면, 레벨 디자인이 아주 잘되어 있다고 볼 수 있기 때문입니다. 그래서 문제를 어떻게 풀 것이냐는 질문은 학년과 성적을 가리지 않고 도움이 되리라 생각합니다. 이러한 문제 풀이의 방법론적 접근을 ‘발견술’이라고 합니다.

발견술은 영어로 ‘Heuristics’로 번역되며, 경험적 방법이란 뜻으로 해석됩니다. 경험적이라는 부분 때문에 수학적 문제해결 방식과 조금 다른 느낌을 받을 수도 있습니다. 하지만 실제적 계산과정이 아닌 문제를 파악하고 어떻게 풀지에 대한 전략 수립 과정에서는 이런저런 시도가 있을 수밖에 없기에 자연스러운 부분입니다.

본격적으로 이야기해봅시다. 문제를 푼다는 것 자체를 고민한 학생은 많이 없을 텐데요, 우리 머릿속에서 일어나는 일은 크게 이해-계획-실행-검토 단계로 구분할 수 있습니다. 문제가 풀리지 않는다면 각 단계를 검토할 필요가 있습니다.

먼저 문제를 ‘이해’해야 합니다. 구하는 것이 무엇인가? 주어진 것은 무엇인가? 조건은 무엇인가? 그 후에는 구하는 것과 주어진 것이 어떤 조건으로 서로 연결되어 있는가를 이해해야 합니다. 이해가 어렵다면 그림을 그리세요. 그래프를 그리거나, 경우의 수 문제라면 적당한 동그라미나 주머니 같은 걸 그리는 것도 좋습니다. 대부분의 경우 많은 도움이 될 것입니다. 중간마다 특정 대상에 적절한 기호를 붙여주는 것도 중요합니다. 미지수 x나 n, 혹은 t와 같은 이름을 붙이고, 다시 주어진 조건을 보면 문제 해결의 실마리를 잡을 수 있습니다.

다음은 문제를 풀기 위한 ‘계획’을 세워야 합니다. 이 단계에서 문제를 풀기 위한 실마리를 잡기 위해 여러 방법을 시도해볼 수 있습니다. 유용한 전략 몇 가지를 소개하면 다음과 같습니다.

유사한 문제를 풀어본 적이 있는지 확인해보세요. 예를 들어 N각형 내각의 합을 구하는 문제라면 삼각형 내각의 합을 떠올려보는 식입니다. 무슨 문제여도 좋으니 풀어봤던 유사한 문제, 조금 더 쉬웠던 문제들을 어떻게 풀었는지 생각해보는 겁니다.

특수한 경우를 대입해보는 것도 좋습니다. 복잡한 방정식에 0이나 1을 대입해보거나, 수열에 처음 몇 항을 직접 계산해보는 식입니다. 기하 문제 중에는 특정 점이나 선이 움직이는 경우가 많은데, 이럴 때 적절한 위치로 두고 계산해보는 것도 도움이 됩니다.

답이나 조건에서부터 거꾸로 접근하는 방식도 있습니다. 단순한 예로는 근을 m과 n으로 알려진 이차방정식을 ‘a(x-m)(x-n)’으로 만들어 ‘ax²-a(m+n)x+amn’으로 이차방정식을 구성하는 방식도 이와 같은 접근법입니다.

계획이 어느 정도 잡히면 ‘실행’과 ‘검토’는 상대적으로 쉽습니다. 이 단계에서 중요한 전략 중 하나는 주어진 모든 자료를 다 사용했는지 확인하는 것입니다. 수능처럼 잘 만들어진 문제라면 주어진 조건을 전부 활용하지 않으면 오류가 발생하기 십상입니다. 자연수나 유리수라는 조건도 확인해야 하고, 아직 활용하지 않은 조건이 있다면 그것을 어떻게 활용할 수 있는지 집중하는 것도 필요합니다.

불완전한 아이디어라도 문제를 부분으로 나누어 이해하고 해석하는 데 도움이 됩니다. 문제를 푸는 방식에 새로운 실마리를 잡을 수 있으며, 다양한 시도와 검토가 경험적으로 쌓여 문제를 해결하는 데 시간이 점점 단축되고, 어떨 때는 직관적으로 반짝이는 아이디어가 나올 때도 있습니다. 그러면서 수학의 재미를 느끼게 되는 것이죠.

이정현 푸른숲발도르프학교 수학교사

위 내용은 조지 폴리아의 ‘어떻게 문제를 풀 것인가?(How to solve it - A new aspect of mathematical method)’의 일부를 소개한 것입니다. 이같이 메타인지적 문제 해결 전략을 통한 문제 풀이는 재미도 있고 수학적 사고력 향상과 성적 상승으로 선순환을 일으킬 것입니다.