[재미있는 수학] 도형 문제는 좌표 이용하면 쉽게 풀수 있어

(19) 도형의 방정식

좌표를 이용하면 도형에 대한 문제를 식의 계산을 통해 쉽게 해결할 수 있는 경우가 많아서 유용합니다. 이때 문제 해결에 이용되는 점의 좌표가 간단해지도록 좌표축을 정하면 편리합니다.

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“중학교 도형 문제는 보조선만 잘 그리면 된다.” 이런 말 들어본 적 있나요? 중학교에서 도형의 성질이 성립함을 보이거나 도형과 관련한 문제를 해결할 때 보조선을 긋는 경우가 많습니다. 그런데 대부분의 학생이 이 보조선을 못 그어서 도형 문제를 해결하지 못하는 경우가 많습니다. 고등학교에서는 도형을 좌표평면 위로 옮기는 것을 배우는데, 이렇게 하면 도형의 성질이 쉽게 확인되거나 도형 문제가 해결되는 경우가 많습니다.

다음 도형의 성질을 ‘파포스의 정리’라고 합니다.

이 파포스의 정리를 서로 다른 두 가지 방법으로 설명해보겠습니다.

첫 번째는 삼각형 ABC의 꼭짓점 A에서 변 BC에 내린 수선의 발 H를 찾아 선분 AH를 긋고, 두 직각삼각형 ABH, AHC에서 피타고라스 정리를 이용해 ①이 성립함을 설명하는 방법입니다.

이 방법은 중학교 때 배운 피타고라스 정리만 활용하면 된다는 장점이 있지만 적절한 보조선을 생각하기 힘들고 식을 정리하기에 복잡하다는 단점이 있습니다.

여기서는 선분 AM의 길이를 구해야 하는데, 선분 AM은 비스듬합니다. 비스듬한 선분의 길이를 구할 때 피타고라스 정리를 사용하기 위해 직각삼각형을 만들려고 보조선인 선분 AH를 그었습니다. 그런데 이 보조선인 선분 AH를 긋는 것이 학생들에겐 상당히 어렵습니다.

두 번째는 삼각형 ABC를 좌표평면 위에 놓아 각 꼭짓점의 좌표를 정하고, 세 변의 길이를 구하여 ①이 성립함을 설명하는 방법입니다.

이 방법은 삼각형 ABC를 좌표평면 위에 놓아 각 꼭짓점의 좌표를 정하고, 좌표평면 위 두 점 사이의 거리를 구해 대수적으로 설명한 것인데, 이렇게 풀면 아주 쉽게 풀립니다.

여기서 삼각형 ABC를 좌표평면 위에 놓을 때, 원점의 위치를 어떻게 정하는 것이 편리한지 생각해봅시다.

위의 풀이와 달리 꼭짓점 B를 원점으로 잡고 변 BC를 x축 위에 놓을 수도 있습니다. 이렇게 하면 각 점의 좌표는 A(a, b), M(c, 0), C(2c, 0)가 됩니다. 각 점의 좌표를 이렇게 했을 때 ①이 어떻게 성립하는지는 여러분이 직접 풀어보면 좋겠습니다.

여기서 각 점의 좌표를 어떻게 잡는 것이 편리한지에 대해 생각해봅시다. 보통은 중점을 원점으로, 대칭축을 좌표축으로 잡는 것이 식을 간단히 하는 데 편리합니다.

이러한 방법은 누가 어떻게 알아냈을까요? 첫 번째 방법을 유클리드(B.C. 325?~B.C. 265?)의 유클리드 기하학, 두 번째 방법을 데카르트(1596~1650)의 해석기하학이라고 합니다. 이 내용도 여러분이 직접 조사해서 확인해보면 좋겠습니다.

홍창섭 경희여고 교사

이 내용은 고등학교 1학년 수학 과목의 ‘도형의 방정식’ 단원과 관련이 있습니다. 이 단원을 통해 도형 문제에서 좌표를 이용하는 방법에 대해 알아보고, 도형 문제는 좌표를 이용하는 것이 유용함을 인지하길 바랍니다.