[재미있는 수학] 천문학 계산·모델링 쉽게 하기 위해 시작했죠

(18) 호도법의 탄생

호도법은 로저 코츠가 천문학의 계산이나 모델링 작업을 보다 간편하게 만들기 위해 도입했습니다. 제임스 톰슨은 물리학에서 호도법에 의한 각도의 단위인 라디안을 사용함으로써 각도의 크기를 단순화하고 물리적인 현상을 더 정확하게 리모델링할 수 있었습니다.

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고등학교 2학년 수학1 과목에 삼각함수 단원이 있습니다. 가장 먼저 마주치게 되는 개념은 ‘호도법’입니다. 그러나 많은 학생이 호도법을 배우는 이유에 의문을 품곤 합니다. “왜 각을 360도로 측정하지 않고, 굳이 호도법을 도입하는 걸까요? 90도가 편한데 왜 굳이 π/2로 표현하는 거죠?”라는 질문을 받곤 합니다. 이에 대한 해답을 찾아보겠습니다.

바퀴를 360도로 정의하고, 360으로 나눈 것을 1도로 재는 육십분법은 고대부터 사용된 각도 측정 방법의 하나입니다. 그러나 이 방법을 처음 누가 정의했는지, 언제부터 이렇게 사용했는지는 알 수 없습니다. 이 방법은 고대 문명부터 사용해왔지만, 구체적인 기원은 알려지지 않았습니다. 고대 문명에서는 천문학적 현상을 관찰하고 기록하는 데 이 방법을 사용했으며, 중세 유럽에도 동일한 방법이 계승되어 사용했습니다. 이러한 관행은 오늘날에도 계속되고 있습니다.

그런데 갑자기 누가 호도법에 의한 각도의 단위인 라디안을 사용했을까요. 라디안을 처음으로 사용한 사람은 뜻밖에도 수학자가 아닌 제임스 톰슨이라는 물리학자입니다. 아이디어를 제공한 사람은 수학자이자 천문학자인 로저 코츠이고요. 천문학을 연구하면서 육십분법은 걸림돌이 되기 때문입니다.

로저 코츠는 천문학의 계산이나 모델링 작업을 보다 간편하게 만들기 위해 호도법을 도입했습니다. 모든 연구에서 각도와 선분의 길이 단위가 다르기 때문에 불편했습니다. 이에 따라 각도도 선분의 길이와 비례해서 재는 방법에 대해 로저 코츠가 제안한 것입니다. 반지름의 길이와 호의 길이가 같을 때는 반지름의 길이와 상관없이 각도는 일정합니다. 이를 1라디안으로 고정하기로 했습니다. 반지름이 1인 원의 전체 원주는 2π(약 6.28)가 되고, 이는 360도에 해당합니다. 따라서 1라디안은 약 57.3도에 해당합니다. 그의 아이디어는 선의 길이와 각의 크기를 직관적이고 편리하게 나타내는 것이었습니다. 이와 같은 호도법의 도입은 고대부터 계승된 각도 측정 방법에 혁명을 일으켰으며, 수학과 물리학 분야의 발전을 이끌었습니다.

제임스 톰슨은 물리학에서 라디안을 사용함으로써 각도의 크기를 단순화하고 물리적 현상을 더 정확하게 모델링할 수 있었습니다. 라디안을 도입함으로써 물리학자들은 원의 움직임이나 진동 같은 현상을 수학적으로 정확하게 기술할 수 있었고, 이는 물리학 발전에 크게 기여했습니다. 제임스 톰슨의 라디안 도입은 물리학에서 정확한 모델링과 실험 결과의 해석을 가능케 했습니다.

푸리에 급수는 주기적인 함수를 삼각함수의 합으로 나타내는 방법의 하나입니다. 이는 신호처리, 공학, 물리학 등 다양한 분야에서 활용되고 있습니다. 푸리에 급수에서는 주기적인 함수를 삼각함수인 사인(sin)과 코사인(cos)의 합으로 표현합니다. 이때 각 삼각함수의 진폭과 위상은 푸리에 계수라는 복소수로 나타냅니다.

푸리에 급수에서 각 삼각함수의 주파수는 라디안 단위로 표현됩니다. 이는 각도를 호도법으로 나타내는 것과 관련이 있습니다. 라디안은 호의 길이와 반지름의 길이의 비율로 정의되며, 각도를 단위 없는 무명수로 표현합니다. 따라서 푸리에 급수에서 각 삼각함수의 주파수를 라디안 단위로 표현하는 것은 주기적인 함수를 삼각함수의 합으로 표현할 때 유용한 방법의 하나입니다.

푸리에 급수는 신호처리에서 주파수 해석, 공학에서 파형 분석, 물리학에서 주기적인 운동 등 다양한 분야에서 중요한 도구로 사용되고 있습니다. 라디안을 사용해 주파수를 표현하는 것은 주기적 현상을 보다 효과적으로 이해하고 모델링하는 데 도움이 됩니다.

정경호 한국삼육고 교사

수학은 이러한 과학적 도전에 도움을 주는 기초학문으로, 각도의 측정 같은 문제에 대한 해결책을 제시함으로써 과학 연구의 발전에 기여하고 있습니다. 따라서 수학은 과학 분야에서 핵심적 역할을 하며, 이러한 협력을 통해 과학과 수학은 서로 보완하고 발전시켜나가고 있습니다.