[논술 길잡이] 유경호의 자·수·전 ⑥

자연계 수능·논술 해결을 위한 수학적 전략

이차곡선의 광학적 성질 I - 「도형」편

고등학교 수학에서 배우는 이차곡선의 역사는 원뿔에 대한 고대 그리스의 연구로 거슬러 올라간다.

원，포물선，타원，쌍곡선은 [그림 1]과 같이 원뿔에 평면을 다양한 각도로 통과시켰을 때 나타나는 곡선으로 원뿔곡선이라 부른다.

현재 부르고 있는 원，포물선，타원，쌍곡선의 어원은 고대 그리스의 수학자 아폴로니우스의 저서 '원뿔 곡선론'에서 찾아볼 수 있다.

아폴로니우스는 하나의 직원뿔을 여러 가지 평면으로 잘라 이 평면이 밑면과 이루는 각이 모선과 밑면과 이루는 각보다 작은가，같은가，큰가에 따라서 포물선은 "같다"는 뜻에서 parabola의 원어를 썼고，타원은 "부족하다"는 뜻의 ellipse，쌍곡선은 "초과하다"는 뜻의 hyperbola를 썼다.

반대로 포물선의 축과 나란히 입사하는 전파는 포물면 모양의 안테나에 반사되어 초점으로 모인다.

접시 모양의 위성 중계 안테나를 파라볼라 안테나라고 부른다.

이제 이차곡선의 광학적 반사를 수학적으로 알아보자.

이차곡선의 반사는 다음 두 가지 법칙을 만족해야 한다.

(1) 페르마의 법칙， (2) 반사의 법칙

포물선 초점에서 출발한 빛은 페르마의 법칙에 의해 최단거리의 경로를 따라 진행한다.

페르마의 법칙이란 빛이 어떤 지점에서 다른 지점으로 향할 때，가장 짧은 시간의 경로를 따라 진행한다는 법칙이다.

같은 매질에서는 빛의 속도가 일정하기 때문에 가장 짧은 시간의 경로는 가장 짧은 거리임을 알 수 있다.

즉，직선으로 진행한다.

따라서 포물선 초점에서 출발한 빛은 포물선 거울 면에 반사되어 축과 평행하게 진행한다.

만약 [그림 3]과 같이 초점 F에서 출발한 빛이 점 P에 반사되어서 점 A에 도착한다고 하자.

그러면 빛이 점 F, P, A를 지나가는 경로가 페르마의 법칙을 만족하는지를 살펴봐야 한다.

즉，FP+PA가 최소 거리인지를 확인해야 한다.

만약 최소가 아니라면 포물선 거울 면의 어떤 점을 지나는 것이 최소 거리인지 찾아야 한다.

[그림 3]에서 직선 L을 포물선의 준선이라 할 때，FP는 P에서 직선 L까지의 거리와 같다.

즉，FP+PA는 점 A에서 점 P를 지나 직선 L까지의 거리와 같다.

이와 같은 사실은 점 A에서 점 P를 지나 직선 L까지의 거리가 최단거리가 아니라는 것을 말한다.

따라서 [그림 3]과 같이 점 Q에서 빛이 반사하여 점 A를 향할 때，이 경로가 페르마의 법칙을 만족함을 알 수 있다.

다음으로 포물선 초점에서 출발한 빛은 반사의 법칙에 의해 입사각과 반사각이 같아야 한다.

[그림 4]와 같이 접선에 대해서 초점 F를 대칭이동한 점을 B라 하고 선분 FQ와 선분 BQ가 접선과 이르는 각을 각각 θ₁, θ₂이라 할 때，초점 F와 점 B가 접선에 대해서 대칭이동한 점이므로 두 각 θ₁, θ₂가 같음을 알 수 있다.

따라서 초점 F에서 출발한 빛이 점 Q에 도달하면，빛이 반사할 때 입사각(ㅠ/2- θ₁)과 반사각(ㅠ/2- θ₁) 이 같기 때문에，Q에서 반사된 빛은 포물선의 축과 평행하게 진행하는 것이다.

따라서 포물선의 초점 F를 출발한 빛은 점 Q에서 반사하여 축과 나란하게 진행함을 알 수 있다.

※ 다음 <제시문>을 읽고 <논제>에 답하시오. (2008학년도 경희대 수시2－1 자연계 논술 중)

[가] 영국 런던의 성 바오로 대성당은 '속삭이는 화랑'이라는 별명으로 유명하다.

복도 한곳에서 작은 소리로 속삭이면，조금 떨어진 곳에서는 못 듣는데도 더 멀리 있는 특정한 장소에서는 또렷하게 들린다.

이런 신기한 현상의 비결은 타원형으로 생긴 천장에 있다.

모든 타원은 두 개의 '초점'을 가지고 있다.

이 중 한 초점에서 소리를 내면，타원의 성질 때문에 음파가 천장에서 반사된 뒤 다른 초점에 모이게 된다.

때문에 한 초점에서 나지막이 속삭여도 다른 초점에 서 있는 사람은 또렷하게 들을 수 있는 것이다.

[나] 소리가 퍼질 때 밀한 곳，또는 소한 곳을 연결하면 면을 이룬다.

이와 같이 그 소밀의 정도가 같은 점을 연결한 면을 파면이라고 한다.

파동은 파면에 수직하게 진행한다.

파면이 평면을 이루면서 진행하는 파동을 평면파라 하고，원 또는 구면을 이루면서 퍼지는 파동을 구면파라고 한다.

파동이 진행할 때 매질 내의 각 점은 파원과 같은 진동수로 진동하므로 파면의 각 점들이 새로운 파원이 되며，이 점들로부터 나온 구면파들이 겹치면서 진행 방향으로 새로운 파면을 만든다.

즉，파면상의 각 점에서 생긴 무수히 많은 구면파들에 공통으로 접하는 면이 다음 순간의 새로운 파면이 된다.

파동이 장애물에 부딪치면 반사된다.

[다] 초점이 F와 F′인 타원 상의 점 P에서 접선 L을 그리고，한 초점 F′을 그 직선 L에 대하여 대칭이동한 점을 R라 하면 점 F, P, R는 동일 직선 위에 있다.

([그림 1] 참조)

문1.

제시문 [가]，[나]는 소리의 물리현상을 나타낸 글이다.

제시문 [다]와 [그림 1]을 참조하여 점 P가 타원을 따라 움직일 때 점 R의 자취는 원이 됨을 설명하고，[그림 1]과 [그림 2]를 참조하여 제시문 [가]에 나타난 현상에 대해 논술하시오. (701자 이상~800자 이내)

[참고자료]

고등학교 미분과 적분， 중앙교육진흥연구소

2008학년도 경희대 수시2－1 자연계 논술


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문1. [해설]

P가 타원위의 점이므로 점 P에서 두 초점 F, F′까지의 거리의 합은 일정하다.

즉，점 P가 타원을 따라 움직이더라도 점 P에서 두 초점 F, F′까지의 거리의 합은 일정하다.

그리고 점 R은 직선 L에 대해서 F′을 대칭이동한 점이므로 점 F′에서 점 P까지의 거리는 점 R에서 점 P까지의 거리와 같다.

또한 점 F, P, R는 동일 직선 위에 있으므로 점 R에서 초점 F까지의 거리는 초점 F′에서 점 P까지의 거리와 점 P에서 초점 F까지의 거리의 합과 같다.

즉，점 R에서 초점 F까지의 거리는 일정하다.

따라서 점 R의 자취는 초점 F를 중심으로 하고 타원의 장축을 반지름으로 하는 원이다.

한편，영국 런던의 성 바오로 대성당의 이러한 현상은 타원 하나의 초점에서 시작된 소리가 타원 모양의 천장에 반사하여 다른 초점으로 모이기 때문이다.

즉，[그림 1]에서 초점 F′에서 출발한 소리가 P에서 반사되어 다른 초점 F로 모이는 것이다.

이런 현상은 초점 F′에서 출발한 소리가 타원에 반사되어 다른 초점 F로 향하는 경로가 최적의 경로이기 때문에 발생한다.

초점 F′에서 출발한 소리가 P에서 반사되어 다른 초점 F로 모이는 경로는 점 R에서 초점 F까지의 직선거리와 같으므로 최단경로임을 알 수 있다.

또한 선분 F′P와 선분 RP가 접선 L과 이루는 각을 각각 θ1 , θ2라 할 때， 초점 F′과 점 R이 접선 L에 대해서 대칭이동한 점이므로 이 두 각 θ1 , θ2이 같음을 알 수 있다.

따라서 초점 F′에서 출발한 소리가 점 P에 도달하면，소리가 반사할 때 입사각(ㅠ/2-θ1)과 반사각 (ㅠ/2-θ2)이 같기 때문에，P에서 반사된 소리는 다른 초점 F로 모이게 된다.

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