[논술 길잡이] 유경호의 자연계 논술 뽀개기 ③ 한양대 자연계 논술의 핵심을 잡아라!

2008학년도 수시2학기 논술고사가 시작됐습니다.

올해 처음으로 자연계 논술을 실시해, 수험생들은 어떻게 준비할지 고민이 많습니다.

생글생글에서는 자연계 수험생들을 위해 '유경호의 자연계 논술뽀개기'를 5회 걸쳐 연재합니다.

유경호 선생님은 지난 5월부터 생글생글에 '자·수·전(자연계 통합논술해결을위한수학적전략)"을 10회 동안 연재해 큰 호평을 받았습니다.

자연계 수험생들의 많은 성원을 부탁드립니다.

한양대 논술시험이 코앞으로 다가왔다.

특히 한양대도 다른 대학들과 마찬가지로 자연계 통합논술 시험을 처음 치른다.

그래서 자연계 논술 시험에 관한 기출문제나 참고자료 등이 부족한 상황이다.

많은 학생들이 이 점에 대해 어려움이 있으리라 생각된다.

이번 주 '자연계 논술 뽀개기'에서는 한양대의 2008학년도 1차，2차 모의논술을 근거로 한양대 자연계 논술을 분석해 보고，곧 치를 수시 논술시험에 대비해 보겠다.

첫째，한양대 자연계 논술은 수학과 과학이 구별된다.

한양대 자연계 논술은 수학과 과학의 통합적 성격보다 각 과목별 특징이 드러나는 문항과 논제들로 이루어졌다.

수학 1문항과 과학 3문항 등 총 4문항의 10문제 정도가 출제될 것으로 예상된다.

수학의 비중은 100점 만점에 25점으로 낮은 반면，과학의 비중은 상대적으로 높은 편이다.

과학 문항도 '물리·화학·생물·지구과학'이 골고루 출제될 것으로 예상된다.

둘째，논제의 출제의도를 정확히 파악하고 제시문의 정보를 적극적으로 활용하자.

한양대 자연계 논술은 단순 암기 지식의 활용에 관한 문제나，수학적 계산만으로 이루어진 문제는 지양한다.

즉，우리가 많이 보아왔던 내용보다 새로운 내용의 문제가 출제될 것으로 예상된다.

이런 문제들에서 많은 학생들이 당황해하고 어려워한다.

그러나 고교 3학년 학생이 풀지 못하는 문제는 출제하지 않는다.

단지 변별력을 키우기 위해서 난이도가 높은 문제일 수 있다.

이런 문제들을 해결하는 유일한 방법은 논제의 핵심을 구체적으로 이해하고 제시문의 정보에 의존하여 문제를 해결하는 것이다.

해결의 모든 실마리는 논제와 제시문에 있다는 것을 잊지 말아야 한다.

셋째，시간과의 싸움에서 이기자.

한양대 자연계 논술 시간은 총 180분(3시간)이다.

결코 짧은 시간이 아니다.

그래서 문제가 생길 수 있다.

우선，긴 시험을 보기 때문에 집중력의 문제가 생길 수 있다.

수능 위주의 공부만 해왔던 학생들에게 한 번에 긴 시간 동안 시험을 보는 것은 어려운 일일 수 있다.

따라서 실전과 같은 모의논술 등을 통해 3시간 동안 집중할 수 있는 연습이 필요하다.

또한 시험시간이 길기 때문에 많은 문항과 문제들에 대한 시간적 분배 없이 시험을 보다가는 시험을 망칠 수 있다.

문제들에 대한 시간 분배문제는 미리 모의논술 등을 통하여 스스로 생각을 정리하고 시험장으로 들어가야 한다.

넷째，자신감을 잃지 말자.

모의논술 등을 통해 분석해 본 한양대 자연계 논술은 쉬운 시험은 아니다.

난이도가 높은 문제，많은 문항과 문제들，긴 시험 시간 등… .

시험을 앞둔 여러 학생들은 걱정이 태산일 것이다. 이럴 때일수록 자신감을 잃으면 안 된다.

시험장에 있을 나를 상상해 보자.

시험장에서 나를 도와줄 사람은 아무도 없다.

오직 나 혼자 문제를 해결해야 된다. 믿을 사람은 나 자신뿐이다.

결코 당황해하지 말고 침착하자.

그러면 여러분들에게 좋은 결과가 있을 것이다.


<한영대 자연계 논술 이렇게 출제한다>

◎ 2008학년도 1차 모의논술(수학문제)

※다음 제시문을 읽고 논제에 답하시오. (배점 25점)

좌표평면 위의 (xk,yk) (k=1,2, ... ,l)에 각각 질량이 mk인 물체가 놓여 있을 경우，

이들의 무게중심은 아래와 같다.

(1)구간 0ÅxÅ8을 균등하게 등분하고,구간 8n을 균등하게 4n(n=1,2,… ) 등분하면 변의 길이가 1/n인 정사각형 32n2개가 만들어진다.

각 정사각형의 오른쪽 위 꼭지점 (a,b)에 무게가 ab인 물체가 있을 경우 이 물체들의 무게중심을 구하는 방법을 제시하라.

이 방법을 이용하여 점 (x,y)에서 밀도가 xy가 되도록 물질이 연속적으로 분포하는 사각형 영역，0ÅxÅ，0ÅyÅ4의 무게중심을 구하는 방법을 제시하고 그 타당성에 대하여 논하시오.

(2)좌표평면에서 1ÅiÅ8n이고 1ÅjÅ4n(n=1,2,… )인 자연수들의 쌍 (i,j)에 대응하는 각 점마다 무게가 ij인 물체가 있다.

이 물체들의 무게중심을 ( Xn,Yn)이라 하면，n이 무한히 커질 때 은 점 (x,y)에서 밀도가 xy가 되도록 물질이 연속적으로 분포하는 사각형 영역，0ÅxÅ8， 0ÅyÅ4의 무게중심으로 수렴한다. 이를 (1)의 결과와 비교하여 논하시오.


◎ 2008학년도 2차 모의논술(수학문제)

※다음 제시문을 읽고 논제에 답하시오. (배점 25점)

인쇄 회로 기판은 집적 회로，저항기 또는 스위치 등의 전기적 부품들을 조립하는데 사용하는 얇은 판으로，오늘날 우리가 사용하는 많은 전자 제품에 없어서는 안 되는 요소이다.

어떤 공장에서 제작하는 인쇄 회로 기판은 모두 크기가 같은 정사각형이고，기판에 조립되는 부품의 수는 동일하다.

기판의 종류는 오직 부품들이 놓이는 위치에 따라 결정된다고 가정하자.

부품의 위치는 기판의 왼쪽 아래 꼭지점을 원점으로 하고 두 모서리를 x축，y축으로 설정하여 좌표로 나타낸다.

이때 기판의 원점과 앞면은 정해져 있기 때문에 기판의 회전이나 뒤집기 등은 고려하지 않는다.

아래의 그림은 4개의 부품을 조립하기 위해 제작한 3가지 기판의 예이다.

이제 기관이 생산관리를 용이하게 하기 위해 기판 사이의 유사성을 나타내는 지표를 개발하고자 한다. 기판 a와 기판 b의 유사성을 나타내는 지표를 Sab라고 하자.

Sab는 0ÅSabÅ1을 만족해야 하고，두 기판 사이의 유사성이 클수록 Sab가 커야 하며，특히 두 기판이 동일하면 Sab=1을 만족해야 한다.

예를 들어，위의 그림에서 기판 2와 다른 기판 사이의 유사성이 기판 1과 기판 3 사이의 유사성보다 크므로 S12>S13 와 S23>S13 이어야 하고，또한 S11 = S22=S33을 만족해야 한다.

(1) 2차원 기판 문제를 단순화 시킨 1차원 기판 문제를 고려하자.

아래의 그림에서처럼 기판 a와 b는 모두 길이가 1cm이고 각각 개의 부품이 놓일 자리가 만들어져 있다.

각 기관의 한 끝을 원점으로 정하고，기판 a의 부품 위치들의 좌표를 작은 것부터 x1,x2,…, xn이라 하고，기판 b의 경우에는 그것을 y1,y2,… , yn이라고 하자.

기판 a와 기판 b의 유사성을 나타내는 지표 Sab를 제시하고 그 타당성을 설명하시오.

(2) 이제 2차원 기판의 경우를 생각하자. 기판 a와 b는 가로，세로 길이가 1cm인 정사각형이고，각각의 기판 위에 n개의 부품을 조립한다.

아래의 그림에서처럼 원점에서 부품의 위치 (x,y)까지의 거리 √x²+y²를 생각하자.

먼저 기판 a에 대해 원점으로부터 각 부품들까지의 거리를 p1,p2,…pn(p1≤p2≤…≤pn)이라 하고，마찬가지로

기판 b의 경우에는 그것을 q1,q2,…qn(q1≤q2≤…≤qn)이라 하자.

이제 어떤 사람이 다음과 같은 유사성 지표를 제안했다고 하자.

이 지표의 타당성을 검토하고，지표에 문제점이 있으면 그것에 대해 구체적인 예를 들어서 논하시오.


<2008학년도 1차 모의논술 해설>

◎ 문제(1) 해설

길이가 1/n인 정사각형의 각 꼭지점을 ( i/n,j/n)이라 하자.

이 때 각 꼭지점에 무게가 (ij/n²)인 물체가 놓여진다.

이 물체들의 무게중심은 제시문에 의해 다음과 같다.

이것을 간단히 정리해 보면 무게중심은 다음과 같다.

또한 이 방법을 이용하여 점 (x,y)에서 밀도가 xy가 되도록 물질이 연속적으로 분포하는 사각형 영역에서의 무게중심은 n이 무한히 커질 때를 생각해야 한다.

즉，정사각형의 크기가 무한히 작아짐으로써 물질을 연속적으로 분포시킬 수 있다.

따라서 그 때의 무게 중심은 다음과 같다.

이 방법은 정사각형의 한 변의 길이가 일정하게 무한히 작아짐으로，물질이 연속적으로 분포한다고 생각할 수 있기 때문에 연속적으로 분포하는 영역의 무게중심을 구하는 방법으로 타당하다.

◎ 문제(2) 해설

(i,j)에 대응하는 각 점마다 무게가 ij인 물체들의 무게중심 (xn,yn)은 다음과 같다.

이것을 간단히 정리하면 G(16n+1/3,8n+1/3)이다.

이것은 문제(1)의 무게중심의 각 좌표에 n을 곱한 것과 같다.

또한 n이 무한히 커질 때 (xn/n,yn/n)은 G(16/3,8/3)로 수렴함을 알 수 있다.

이것은 문제(1)의 결과와 같다.

<2008학년도 2차 모의논술 해설>

◎ 문제(1) 해설

기판 a와 기판 b의 유사성을 나타내는 지표 Sab를 다음과 같이 제시한다.

제시된 Sab가 기판 a와 기판 b의 유사성을 잘 나타내는지 제시문의 내용을 바탕으로 확인해 보자.

첫째，기판 a와 기판 b가 동일하다면 기판 a의 부품 위치들의 좌표와 기판 b의 부품 위치들의 좌표가 일치하므로 pk-qk=0이고 Sab=1이다.

둘째，기판 a와 기판 b가 완전히 다르다고 가정하면(예를 들어 기판 a의 부품의 위치들은 모두 좌표 0에，기판 b의 부품의 위치들은 모두 좌표 1에 있다고 가정하면) l pk-qk l=1이고 Sab=0이다.

셋째，두 기판이 동일한 경우와 완전히 다른 경우를 제외한 나머지 경우에 대해서는 0＜Sab＜1이다.

왜냐하면 0＜l pk-qk l＜1 이고，0＜∑ k=1에서 n까지l pk-qk l＜n 이기 때문에 0＜Sab＜1이다.

따라서 기판 a와 기판 b의 유사성을 나타내는 지표 ( )를 ①과 같이 제시한 것은 타당하다 할 수 있다.

◎ 문제(2) 해설

2차원 기판에서 두 기판의 유사성 지표를 다음과 같이 주어졌을 때 부품들 사이의 거리가 가장 먼 길이가 √2이므로 얼핏 보면 타당할 것 같다.

그러나 이 지표에는 다음과 같은 문제점이 있다.

예를 들어 원점에서부터 거리가 1만큼 떨어진 사분원 위에 기판 a와 기판 b의 모든 부품들이 [그림 1]과 같이 있다고 가정하자.

[그림 1]의 기판 a와 기판 b의 모든 부품들은 원점으로부터 거리가 1이므로 pk-qk=0이고 Sab=1이다.

즉，기판 a와 기판 b가 동일하지 않은데도 불구하고 Sab=1라는 동일한 결과가 도출되는 문제점이 있다.

<한양대 자연계 논술 적중 예상문제>

※다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

많은 자연현상에서 어떤 양은 그들의 크기에 비례하는 비율로 성장하거나 감소한다.

예를 들면 y=f(t)가 시간 t에서의 동물의 수나 박테리아 수이면，성장률인 f(t)가 수 f(t)에 비례한다고 기대하는 것은 합리적인 것 같다.

즉，어떤 상수에 대하여 f＇(t)=kf(t)이다.

어느 나라의 인구 증가에 대한 수학적 모델링을 하고자 한다.

어느 시점에서 인구 증가율은 그 당시의 인구에 비례한다고 가정한다.

f(t)를 시점 t에서의 인구라 하면 인구 증가율은 f＇(t)가 된다.

이 나라의 인구에 대한 관측 시작 시점을 t=0이라 하고，이 때의 인구를 f(0)이라 하면，인구 증가율이 인구에 비례하므로

f＇(t)=kf(t).............................①

와 같이 나타낼 수 있다.

여기서，k는 0보다 큰 비례상수이다.

①에서 양변을 f(t)로 나누어서 적분을 하면, f(t)=f(0)e의 kt승 이 된다.

이 모델링이 타당한지 확인하기 위하여 이 나라의 과거 인구 통계 자료를 조사해 보았더니，t가 작으면 실제 인구와 f(t)가 거의 같았으나，t가 크면 실제 인구보다 f(t)가 매우 큰 값을 갖게 되어 f(t)의 값이 자료와 많은 차이를 보였다.

◎ [예상문제] 제한된 환경과 식량공급에서 인구는 전체 식량공급을 넘어서 인구가 증가할 수 없다.

이와 같은 단점을 보완하기 위하여 ①을 대신할 새로운 인구 증가에 대한 다음과 같은 수학적 모델링을 제시하였다.

g'(t)=kg(t)(M=g(t))

이 새로운 인구 증가에 관한 모델링이 타당한지 검토하고 t가 매우 커지면 f(t)와 g(t)는 각각 어떤 특징을 보이는지 비교하여 논술하시오.(단，M은 양의 실수)

◎ [해설] M을 제한된 환경과 식량공급에서 전체 식량공급을 소모해 버리는 최대 인구수라 생각해 보자.그러면 g(t)는 절대로 M을 넘을 수 없다.

또한 인구 증가율 g＇(t)는 그 당시의 인구수 g(t)에 비례한다.

두 가지 사항을 다 고려해 본다면 새로운 모델링은 타당하다고 할 수 있다.

t가 매우 커지면 f(t)의 값은 매우 큰 값을 갖게 되는 반면에 g(t)는 M에 가까운 값을 갖게 될 것이다.

새로운 모델링에서 g＇(t)는 양이므로 g(t)는 증가함수이다.

g(t)가 점점 M에 가까이 간다면 (M-g(t))가 아주 작은 값을 가질 것이다.

그러면 g＇(t)는 0에 가까운 값을 가질 것이고，g(t)는 M에 가까운 값을 갖게 될 것이다.

실제 이 새로운 모델링은 '로지스틱 성장함수'로 알려져 있는 아래 그림과 같은 모델링이다.

유경호 S·논술 선임연구원 ryoo8001@nonsul.com