[논술길잡이] 유경호의 자연계 논술 뽀개기 ①서강대 자연계 논술의 핵심을 잡아라!

2008학년도 수시 2학기 논술고사가 시작됐습니다. 올해 처음으로 자연계 논술을 실시해,수험생들은 어떻게 준비할 지 고민이 많습니다. 생글생글에서는 자연계 수험생들을 위해 '유경호의 자연계 논술 뽀개기'를 5회에 걸쳐 연재합니다. 유경호 선생님은 지난 5월부터 생글생글에 '자·수·전(자연계 통합논술 해결을 위한 수학적 전략)'을 10회 동안 연재해 큰 호평을 받았습니다. 자연계 수험생들의 많은 성원을 부탁드립니다.

서강대 자연계 수시논술은 총 3개 문항으로 되어 있다. 문항 1은 수학 관련 통합문제로 전체 배점의 35%를 차지한다. 문항 2는 학생들의 논리력을 평가하는 문제로 역시 35%의 비중을 차지한다. 문항3은 800∼1000자 인문 논술문제로 30%의 비중을 차지한다. 30%의 인문 논술 문제를 뺀 나머지 수리와 논리에 관련된 문제가 당락을 결정하는 중요한 요인이다.특히 수리와 논리 문제에서 핵심을 구체적으로 이해하지 못할 때,해결과정에서 표현도 모호하게 표현될 수밖에 없다. 해결과정의 논리적이고 구체적인 표현을 평가하는 논술에서 모호한 글쓰기는 좋은 결과를 얻을 수 없다.

서강대 자연계 논술을 정복하기 위해서는 수리와 논리 문제의 유형과 지금까지 출제되었던 주제들을 살펴봄으로써 앞으로 어떤 주제가 출제될 것인가를 예상해 보아야 한다.다음은 지난해 세 차례에 걸쳐 실시된 2007학년도 서강대 자연계 논술에서 수리와 논리 문제의 주제별 분석이다.

위의 분석을 정리해 보면 서강대 자연계 논술은 특정한 수학 주제를 정확히 이해하고 이를 실생활에서의 활용할 수 있는지와，주어진 제시문의 내용만을 가지고 논제를 해결할 수 있는 논리력을 가지고 있는지를 묻고 있다．

특히 수학에 관련된 통합문제는 그 주체인 수학의 기본 개념을 제대로 이해하고 있지 않을 때 한 줄도 쓸 수 없는 문제를 출제되고 있다．

다음 2007학년도 서강대 자연계 논술 기출문제를 풀면서 이 점을 확인해 보자．

서강대 자연계 논술 이렇게 출제한다

⊙2007학년도 서강대 수시1 자연계 논술 중 ［문항 1］(35%，글자 수 제한 없음)

고대 그리스인들은 어떤 숫자는 그보다 작은 숫자에 의해서 나뉠 수 있는 반면에 다른 숫자들은 이런 특성이 없다는 관찰을 했다．

자연수 중에서 1과 자신을 제외한 어떤 숫자로도 나뉠 수 없는 숫자를 소수(素數)라 부른다．

또한 소수가 아닌 자연수 중에서 1이 아닌 수를 합성수라 부른다．

언뜻 생각하기에는 소수와 합성수의 구분이 아무런 의미도 없는 것처럼 보인다．

그러나 소수는 매우 중요하다는 사실이 밝혀졌고，수학자들이 소수에 대해서 더 많은 사실을 발견할수록 그 중요성은 더 높이 평가되고 있다．

ⓐ소수가 그처럼 중요한 이유 중 하나는 자연수에서 소수가 하는 역할이 화학에서 원자의 역할과 같다는 것이다.

소수에 대한 분명한 물음은 이런 것이다．

도대체 얼마나 많은 소수가 있는 것일까？ 유클리드는 그의 저서 ‘기하학 원론’에서 소수의 개수가 무한하다는 것을 증명했다．

그의 증명을 간략히 서술하면 아래와 같다．

“유한개만의 소수가 존재한다고 가정하자．이 유한개의 소수들을 모두 곱한 값에 1을 더하면 그것 역시 소수이며，처음에 가정한 유한한 소수 집합에 속하지 않는다．

그러므로 소수가 유한하다는 가정은 모순이 됨을 알 수 있다”

어떤 자연수 N이 소수인지 여부를 검사하는 가장 확실한 방법은 소인수분해를 하는 것이다．

ⓑ이를 위해서는 이하의 모든 소수들로 N을 나누어 보아야 한다．이때 N이 실제로 소수일 때가 제일 큰 문제이다.

소인수분해를 사용하여 소수 여부를 검사하는 방법은 N이 아주 큰 수라면 최고 성능의 컴퓨터로 계산한다고 하더라도 매우 오랜 시간이 걸릴 수 있다．

그렇지만 수학자들은 소수의 패턴을 연구함으로써 여러 대안적 소수 검사 방법을 고안할 수 있었다．

실제로 현재의 대형 컴퓨터와 ARCLP와 같은 소수 검사 방법을 사용하면 100자리에 이르는 소수 두 개를 쉽게 찾을 수 있다．

이 두 소수를 곱하면 200자리 수인 합성수 하나가 만들어진다．

다른 한편，이 200자리 숫자가 매우 큰 두 개의 소수의 곱이라는 것을 알고 있고，현재 가용한 가장 빠른 컴퓨터를 사용한다고 하더라도 이 정도 크기의 합성수를 소인수분해 하는 것은 실질적으로 불가능하다고 할 만큼 오랜 시간이 걸린다．

소수 검사가 가능한 수의 크기와 소인수분해가 가능한 수의 크기 사이에 있는 이 커다란 불균형을 이용하여 수학자들은 ‘공유 열쇠(public key)’ 암호체계를 고안했다．

곤충 매미는 식물의 조직 속에 알을 낳는데，우리나라에서 잘 알려진 유지매미와 참매미는 산란한 해부터 치면 7년째에 성충이 된다．

또 늦털매미는 5년째에 성충이 된다고 알려졌다．

매미탑이라고 불리는 북아메리카에 사는 매미는 산란에서부터 성충이 되기까지 13년이 걸리는 종과 17년이 걸리는 종으로 나뉘고，그 형태나 울음소리에도 차이가 있는 것이 확인되었다．

이와 같이 위에서 소개한 여러 종류의 매미가 산란에서 성충이 되기까지 걸리는 시간은 보통 5년，7년，13년，17년이다．

이와 같은 매미의 생활주기에서 발견될 수 있는 공통점은 그것들이 모두 소수라는 점이다．

왜 하필 소수를 주기로 생활할까라는 의문에 대한 설명으로 유력한 두 학설이 있는데，한 가지는 주기가 소수가 되면 매미가 천적을 피하기 쉽다는 것이고，또 다른 학설은 동종간의 경쟁을 피하기 위한 스스로의 조정이라고 알려져 있다．

1．밑줄 친 ⓐ의 논리와 ⓑ의 근거에 대하여 각각 논술하라．

2．소수의 개수가 무한하다는 유클리드의 증명을 부연하여 논술하라．

3．매미가 소수를 주기로 생활하는 이유를 설명하는 두 가지 학설에 대해 각각의 근거와 예를 사용하여 논술하라．

⊙2007학년도 서강대 수시2-1 자연계 논술 중 ［문항 1］(35%，글자 수 제한 없음]

[가] 역사적 자료에 의하면，고대 문명들은 피타고라스 정리를 어느 정도 이해하고 있었던 것으로 보인다．

고대 그리스에서는 직각삼각형의 기본 성질에 관한 이러한 이해가 삼각비에 대한 연구로 발전해 갔을 뿐만 아니라，유클리드 평면기하학을 형성하는데 큰 역할을 하였다．

삼각비를 다룬 기원은 모호하나 주로 천문학의 연구로부터 지식이 축적되기 시작한 듯이 보인다．

기원전 3세기의 아리스타쿠스는 반달일 때 지구와 달，태양과 달을 잇는 직선이 수직으로 만난다고 보고， ⓐ이로부터 지구에서 달까지의 거리와 태양까지의 거리의 비를 구하였다고 한다．

이후 서기 2세기 프톨레마이오스가 지은 ‘알마게스트’란 책에는 원에서 중심각에 따른 현의 길이를 나타내는 표가 실려 있다．

[나] 유클리드 기하학은 주로 직선과 원을 이용하여 만들어지는 도형들을 연구하였다．

이러한 도형들은 무한하고 곧바른 이상적인 평면 속에 존재하는 것들이었다．

데카르트는 이러한 기하학의 내용을 수에 연계하려고 체계적으로 노력하던 중에，평면 위의 점을 x좌표와 y좌표를 써서 수의 쌍으로 나타내는 것을 고안하였다．

단순해 보이는 이 착상이 가져다 줄 지대한 효과에 대해 데카르트를 포함해서 당시의 어느 누구도 상상조차 하지 못하였다．

좌표를 통하여 데카르트는 기하의 내용들을 그에 해당되는 대수적인 내용으로 해석할 수 있었다．

예를 들어 직선은 1차 방정식，원은 2차 방정식으로 나타낼 수 있었다．

피타고라스 정리는 원래 직각삼각형의 각 변들로 생성된 정사각형들의 면적 사이의 관계를 나타내었지만，좌표평면에서는 두 점 사이의 거리를 나타내는 공식으로 이해될 수 있었다．

데카르트의 문헌을 접한 뉴튼이나 라이프니쯔는 천체의 운동에 관한 그들의 연구 속에서 그래프와 함수라는 개념을 자연스럽게 생각할 수 있었고，이를 바탕으로 미분이나 적분의 이론을 전개할 수 있었다．

[다] 수학자 푸리에는 사인，코사인 등의 삼각함수를 사용하여 파동(wave)을 효과적으로 나타내고 미분과 적분의 이론을 이용하여 분석하였다．

파동에는 음파，전자기파，수면파，지진파 등이 있는데 이들을 활용하는 것은 현재의 산업사회에서 매우 중요한 일이며，이를 산업에 이용하는 제품은 휴대전화，TV，컴퓨터，인터넷 등 우리 주위에서 헤아릴 수 없이 많다．

요컨대，파동에 대한 연구가 부족했더라면 인간은 현재의 기술문명에 결코 도달하지 못했을 것이다．

[라] 인공위성은 공기저항이 거의 무시될 정도로 낮은 고도 수백 km이상에서 지구 위를 돈다．

이들의 속도가 너무 느려 중력에 의해 지구로 떨어지거나 너무 빨라 지구를 이탈하지 않도록 하기 위해서는，인공위성은 그 고도에 따른 적정한 속도로 움직여야 된다．

인공위성이 지구의 자전 주기와 같은 속도로 적도를 따라 날면，지구의 어떤 지점에서도 인공위성이 계속 정지해 있는 것처럼 보이게 되며 이 속도를 낼 수 있는 높이는 대략 지구 반지름의 5．6배인 고도 3만6000여 km이다．

적도 위에서 이 고도를 나는 인공위성을 정지궤도위성이라 하는데，60여 년 전 과학소설(SF) 작가 클라크는 ⓑ3개의 정지궤도위성을 잘 배치하면 60도 이상의 고위도 지역 일부를 제외한 지구 전역과의 통신이 가능함을 잡지에 발표하였다.

정지궤도위성은 많은 장점을 가지는데，이 궤도 위에서 돌 수 있는 위성의 수에는 기술적인 한계가 있어서 정지궤도 자리를 차지하기 위한 ‘우주영토 전쟁’이 치열하며，우리나라의 무궁화 위성도 정지궤도 위를 돌고 있다．

1．전자기파 및 음파 연구의 진전은 현대 통신기술의 발전을 이끌었다. 고대에 발견된 피타고라스 정리가 어떻게 파동의 연구에 공헌하였는지 제시문 [가]，[나]，[다]를 이용하여 논하시오．
2．밑줄 친 부분 ⓐ의 근거를 설명하고，이에 사용된 방법론을 ⓑ를 설명하기 위한 방법론과 비교하여 논하시오．