[논술길잡이] 서강대 자연계 논술 해설

◎2007학년도 서강대 수시1 자연계 논술 중 문항 1 해설

1. 밑줄 친 ⓐ에서 소수와 원자는 자연수와 화학에서 같은 역할을 한다는 논리는 다음과 같다. 우선 소수는 어떤 수로도 나누어지지 않는다. 1을 제외한 모든 자연수는 소수의 곱으로 나타낼 수 있고,다른 소수의 곱은 다른 자연수를 나타낸다. 즉,소수는 자연수를 이루는 기본 단위라 할 수 있다. 이와 비슷하게 화학에서의 원자도 화학반응을 통해 더 이상 나누어지지 않는다. 모든 분자는 원자들의 조합으로 나타낼 수 있고,다른 원자들의 조합은 다른 분자를 나타낸다. 즉,원자는 분자를 이루는 기본 단위라 할 수 있다. 따라서 소수와 원자는 자연수와 화학에서 같은 역할을 한다고 할 수 있다.

밑줄 친 ⓑ에서 이 실제로 소수일 때가 제일 큰 문제가 되는 근거는 다음과 같다.

N이 소수인지 여부를 검사하는 가장 확실한 방법은 소인수분해를 하는 것이다. 그런데 모든 소수를 작은 것부터 차례로 직접 나누어 보는 것은 힘든 일이다. 그래서 다음 정리를 이용하여 N이 소수인지 합성수인지를 조금 더 편하게 판별할 수 있다.

"N이 합성수라면 보다 작은 소수로 적어도 한 번은 나누어 떨어진다."

즉,N이 합성수라면 보다 작은 소수로 적어도 한 번은 나누어 떨어지는데,N이 소수라면 보다 작은 모든 소수로 나누어야 비로소 소수임을 알 수 있다. 특히 N이 아주 큰 소수라면 검사시간이 엄청나게 소요될 것이므로 이것이 큰 문제라 할 수 있다.

2. 우선 소수의 개수가 유한하다고 가정하자. 유한개의 모든 소수를 2, 3, 5, 7,…. P라 하자. 이 모든 소수들의 곱 2×3×5×…×P는 소수들로 나누어 떨어지므로 합성수이다. 그런데 이 수에 1을 더 하여 만든 수 2×3×5×…×P+1은 어떤 소수로도 나누어 떨어지지 않는다. 즉, 새로운 소수임을 알 수 있다. 이것은 P보다 큰 소수가 존재한다는 것이고,가정의 모순이다. 따라서 소수의 개수는 무한하다.

3. 매미의 주기가 소수가 되면 매미가 천적을 피하기 쉽다. 왜냐하면 매미의 주기가 소수가 되면 자신과 주기가 같지 않는 천적과 만나게 되는 빈도의 주기가 소수가 아닌 경우보다 상대적으로 적어서 번식에 유리하다. 주기가 소수이면 천적의 주기와의 최소공배수가 커지게 된다.

위 예에서 본 바와 같이 매미 주기가 소수인 경우에 천적을 만나는 주기가 상대적으로 커서 천적을 피하기 쉽게 된다. 따라서 매미 주기가 소수가 되면 천적으로부터 종족을 보존할 기회가 많아진다.

한편,매미의 주기가 소수가 되면 동종 간의 경쟁을 피하기 쉽다. 매미의 주기가 같거나 겹치게 되면 동종 간에 생존경쟁이 치열해진다. 치열한 생존경쟁을 피하기 위해서는 가능하면 생활주기를 다르게 해야 된다. 매미의 주기를 소수로 하면 공배수가 커져 서로 만나는 주기가 길어지므로 서로 간에 생존경쟁을 피할 수 있게 되고,종족 보존과 번식에 유리하게 된다. 예를 들어 유지매미 주기 5년이고 참매미 7년이면 35년마다 만나서 생존경쟁을 하게 되고,북아메리카 매미 중 주기 13년 종과 주기 17년 종은 221년마다 만나서 생존경쟁을 하게 된다.


◎2007학년도 서강대 수시 2－1 자연계 논술 중 문항 1 해설

1. 이 논제를 해결하기 위한 논리 전개는 다음 개념을 따라간다.

'피타고라스 정리→ 직각삼각형→ 삼각비→ 좌표평면→ 삼각함수→ 파동.'

피타고라스 정리는 제시문 [가]에서 직각삼각형의 기본 성질을 이해할 수 있게 하였다. 즉,직각삼각형의 두 변의 길이를 알고 있을 때,나머지 한 변의 길이를 피타고라스 정리로부터 구할 수 있었다. 직각삼각형의 세 변의 길이를 알고 이를 이용하여 삼각비를 정의하였다.

이 삼각비는 제시문 [나]의 좌표평면 위에서 새롭게 정의된다. 좌표평면에서 두 점 사이의 거리는 피타고라스 정리에 의해서 얻어지므로 도형을 좌표평면 위에서 표현할 수 있게 되었다. 또한 시초선과 동경이 이루는 도형을 각이라 정의하고 [그림 1]과 같이 단위원을 그리고 단위원의 (x,y) 좌표를 이용하여 삼각함수를 정의하였다.

이렇게 피타고라스 정리는 유클리드 평면 기하에서 삼각비의 정의에 도움을 주었고,피타고라스 정리와 데카르트의 좌표평면의 개념 위에 삼각비는 삼각함수로 정의되었다. 또한 삼각함수 그래프는 제시문 [다]의 내용처럼 주기와 진폭을 가지고 있는 전자기파나 음파와 같은 파동과 비슷한 점이 많아서 삼각함수를 이용하여 파동의 연구에 공헌하고 있다. 따라서 피타고라스 정리는 파동의 연구에 지대한 공헌을 했다고 할 수 있다.

2. [그림 2]와 같이 지구를 북극점에서 내려다 봤을 때 3개의 정지궤도 위성을 생각할 수 있다. 이 3개의 정지궤도 위성이 각각 120도 이상의 범위에 대해서 통신이 가능한지를 [그림 3]과 같이 확인해 보자.

[그림 3]과 같이 정지궤도 위성은 지구 중심으로부터 반지름의 6.6배 위에 떠 있고, cosθ는 다음과 같이 정리된다.

cosθ<cos60°

즉, θ>60°이다. 따라서 지구를 위에서 바라보았을 때,하나의 정지궤도 위성은 120°
이상 지역의 통신이 가능하다. 또한 지구를 옆에서 바라보았을 때 [그림 4]와 같이 정지궤도 위성과 지구의 적도를 생각할 수 있다.

[그림 4]에서 cosx<cos60°이고 x>60°이므로 60도 이상의 고위도 지역
일부분을 제외하고 통신이 가능하다. 따라서 정지궤도 위성 3개를 가지고 60도 이상의 고위도 지역 일부분을 제외하고 지구 전역과 통신이 가능하다.

한편,밑줄 친 ⓐ는 반달일 때 지구-달-태양이 이루는 각이 직각이 된다고 보고 [그림 5]와 같이 달-지구-태양 사이에 이루는 각 (θ)를 구해서

cosθ= 지구-달 / 지구-태양

를 이용하여 지구-달,

지구-태양 간의 거리의 비를 구하는 것이다.

밑줄 친 부분 ⓑ와 ⓐ를 설명하기 위한 방법론의 공통점은 두 가지 방법 모두 삼각비를 이용하고 있고,차이점은 ⓑ는 길이를 알고 각에 관한 정보를,ⓐ는 각을 알고 길이에 관한 정보를 얻는 데 있다.



서강대 자연계 논술 이렇게 대비하자

지금까지 수학에 관련된 통합문제를 해결하는 과정에서 수학의 기본 개념을 제대로 이해하고 있고 이를 활용할 줄 알아야 함을 알았다. 특히 수학 개념을 제대로 이해하고 있는지를 확인해 보자. 예를 들면 "1도 약수가 자기 자신뿐임에도 불구하고 왜 소수가 아닌가? 세 가지 제논의 역설은 무엇이 문제인가? 0으로 나눌 수 없는 이유는 무엇인가? 지수의 밑이 0이 아닌 이유는? 미적분학의 기본정리를 만족하기 위한 함수는 왜 연속함수인가?" 등등 예전에는 당연하게 생각했던 것을 수학 교과서를 보면서 다시 생각해 보자. 그리고 수학 관련 도서를 보면서 수학 개념에 대해서 궁금했던 것을 해결해 보자. 여러분들의 고민과 수학에 관한 생각을 정리하는 것이 서강대 자연계 논술에 큰 도움을 줄 것이다.

유경호 S·논술 선임연구원 ryoo8001@nonsul.com