다음 제시문을 읽고 논제에 답하시오.
[문항 1]
(가)
원뿔에 대한 고대 그리스의 연구에 등장한 원,포물선,타원,쌍곡선은 원뿔에 평면을 다양한 각도로 통과시켰을 때 나타나는 곡선이란 의미에서 원뿔곡선 또는 원추곡선이라고 부른다.
현재 사용하고 있는 원,포물선,타원,쌍곡선의 어원은 고대 그리스의 수학자 아폴로니우스의 저서 '원뿔 곡선론'에서 찾아볼 수 있다.
아폴로니우스는 하나의 직원뿔을 여러 가지 평면으로 잘라 이 평면이 밑면과 이루는 각이 모선과 밑면과 이루는 각보다 작은가,같은가,큰가에 따라서 포물선은 '같다'는 뜻에서 parabola의 원어를 썼고,타원은 '부족하다'는 뜻의 ellipse,쌍곡선은 '초과한다'는 뜻의 hyperbola를 썼다.
일반적으로 수학에서는 원추곡선(원뿔곡선)을 이차곡선이라고 부르는데,이는 원추곡선을 좌표 평면 위에 나타내면 이차식이 되기 때문이다.
평면 위에 놓인 공의 그림자에서도 광원의 위치에 따라 다양한 이차곡선을 볼 수 있다.
(나)
이차곡선인 포물선과 쌍곡선은 타원과 더불어 고대에서 현재까지 많은 학자들에 의해 연구되고 있다.
갈릴레오 갈릴레이는 던져진 물체의 궤적을 포물선으로 설명했고,행성 운동의 세 가지 법칙을 발견한 케플러는 타원으로 행성의 궤도를 설명하기도 했다.
또한 고대 그리스의 수학자 아르키메데스가 포에니 전쟁에서 포물면 거울로 햇빛을 모아 나무로 된 로마의 전함에 불을 질렀다는 이야기도 전해지고 있다.
현대에도 이차곡선은 비행기나 선박의 위치를 나타내는 LORAN 항법시스템 등에 사용되기도 하고,그 반사 성질을 이용하여 자동차의 전조등,송·수신용 안테나 및 현대적인 망원경 등과 같은 실생활에 유용한 도구들을 만드는 데도 응용되고 있다.
*포물선:평면 위의 한 정점과 한 정직선으로부터 거리가 같은 점들의
모임
*쌍곡선:평면 위의 두 정점으로부터 거리의 차가 일정한 점들의 모임
논제 1.포물선과 쌍곡선은 모양이 비슷하지만 서로 다른 성질을 갖는 곡선이다.
그 유사점과 차이점에 대하여 설명하시오.
논제 2.천문관측용 반사망원경 중 하나인 카세그레인식 망원경(Cassegrain's Telescope)은 포물선과 쌍곡선의 반사 성질을 이용하여 아래의 그림과 같은 구조로 만들어졌다.
이처럼 포물선과 쌍곡선에서 반사 성질이 성립하는 이유를 설명하시오.
[문항 2]
미분은 곡선의 접선을 긋는 것에서,적분은 곡선으로 둘러싸인 부분의 면적을 구하는 것에서 시작했다고 한다.
미분법과 적분법에 대해서는 그리스 시대부터 논의가 이루어져 왔는데,고대 그리스 수학자 아르키메데스는 오늘날의 구분구적법과 유사한 방법으로 평면 영역과 구면의 넓이를 구하였고,프랑스의 페르마(1601~1665)는 함수의 극소값과 극대값을 구하는 데 미분법과 유사한 방법을 이용하였다.
그러나 오늘날과 같은 미적분학은 뉴턴과 라이프니츠에 의해 발견되었다.
영국의 뉴턴(1642~1727)은 운동체의 속도를 구하는 과정에서 미분법을 발견하였다.
그는 행성의 움직임을 연구하기 위해 미적분을 고안하였으며,미분방정식을 풀어 케플러 법칙을 증명하였다.
독일의 라이프니츠(1646~1716)는 곡선의 접선 또는 함수의 극대·극소를 고찰하는 과정에서 미분법을 발견했으며,현대적인 미분과 적분의 기호를 개발하는 데 크게 공헌하였다.
뉴턴과 라이프니츠가 발견하고,오일러 등 여러 학자에 의해 발전한 미분법과 적분법은 현대수학의 가장 기본적인 개념이 되었을 뿐만 아니라 자연과학,공학 및 사회과학 등 거의 모든 분야에 응용되고 있다.
예를 들어 최대,최소값을 구하는 데 사용되기도 하고,움직이는 물체의 운동이나 사물의 변화하는 현상을 기술하는 데 이용되기도 한다.
논제 1.미분법과 적분법이 평면 또는 공간에서 움직이는 물체의 운동에 대해 어떤 정보를 주는지 설명하시오.
논제 2.원 위에서 일정한 속력으로 움직이는 물체의 가속도 방향은 항상 원의 중심을 향한다.
그 이유를 설명하시오.
[문항 3]
(가)
사람의 감각기관은 대부분 외부의 자극에 대해 로그함수적으로 반응한다.
예를 들어 밝기가 F 1과 F 2 인 두 물체가 있다면,사람의 눈은 그 밝기의 차이를 log(F 2 /F 1)에 비례하여 지각한다.
이러한 눈의 특성을 잘 살펴볼 수 있는 사례가 별의 등급 체계이다.
별의 등급은 고대 그리스의 천문학자인 히파르코스가 도입했는데,별의 밝기가 100배 차이 나면 등급으로는 5등급 차이가 나도록 정의되었다.
즉,별의 등급은 밝기의 로그함수로서,1등급의 차이가 밝기로는 1001/5＝2.512배의 차이라는 것이다.
등급이 클수록 별은 어두우며,맨 눈으로는 약 6등급의 별까지 볼 수 있다.
대형 망원경을 이용할 경우에는 20등급인 어두운 별들도 관측할 수 있다.
(나)
아래의 그림은 밤하늘의 일정한 영역을 대형 망원경으로 관측하여 얻은 결과로,등급이 m인 별보다 밝은 별의 개수 N(
별과 별 사이의 물질에 의하여 밝기가 감소되는 것을 무시한다면,별의 밝기는 거리의 제곱에 반비례하여 감소할 것이다.
따라서 별까지의 거리가 멀면 멀수록 m이 커지며,아래의 관측 결과는 우주공간에서 별들의 분포에 관한 정보를 담고 있다.
논제 1.만약 밝기가 일정한 별들이 우주공간에 균일하게 분포하고 있다면,N(<m)
논제 2.만약 사람의 눈이 지금보다 밝기에 민감해 1등급과 6등급 별의 밝기 차이가 100배가 아닌 10배였다면,(나)의 관측 결과는 어떻게 달라졌을지 논술하시오.
♥문항 4♥
(가)
자동차는 휘발유를 연소시켜 발생하는 에너지를 운동에너지로 변환하여 사용한다.
자동차의 에너지 효율(연비)은 보통 10km/liter 정도로,1liter의 휘발유가 연소될 때 나오는 열량과 자동차가 한 역학적 일을 비교하면 자동차가 한 역학적 일의 양이 훨씬 적다는 것을 알 수 있다.
사람도 섭취한 음식을 산화·분해하여 살아가는 데 필요한 에너지를 공급받는다.
일반적으로 생물체는 자동차에 비해 높은 에너지 효율을 보이며,생산한 에너지를 효과적으로 사용한다.
그 이유는 생물체의 경우 생산한 에너지를 ATP 형태의 작은 에너지 단위(약 7.3kcal/ATP)로 변환하여 사용하기 때문이다.
(나)
근력운동 중 하나인 역기를 드는 운동은 역학적 일을 하는 것인데 여기서 일의 양은 다음과 같이 계산할 수 있다.
질량이 25kg인 역기를 1m 높이로 들면 25kg×9.8m/sec2×1m÷4.2J/cal＝60cal에 해당하는 일을 하게 된다.
따라서 역기를 100번 들면 60cal×100＝6kcal에 해당하는 일을 한 것이다.
(다)
평소에 햄버거를 즐겨 먹던 철수는 2개월 전 동네에 햄버거 가게가 생긴 이후 간식으로 햄버거를 매일 1개씩 먹게 되었다.
그리고 식사 이외에 간식으로 햄버거를 먹기 시작한 이후 체중이 증가할 것을 우려하여,역기 들기를 매일 아침과 저녁에 각각 50번씩 총 100번을 꾸준히 해오고 있었다.
그 결과 철수의 체중은 두 달 전과 비교할 때 별 차이가 없었고 오히려 조금 감소했다.
그러던 중 철수는 우연히 자신이 간식으로 즐겨 먹던 햄버거의 열량이 500kcal인 것을 알고는 크게 놀랐다.
그동안 식사 이외에 섭취한 햄버거의 열량을 소비하기 위하여 매일 역기를 100번씩 든 것이 실제로는 500kcal를 소비하는 데는 큰 도움이 되지 않았을 것 같은데도 자신의 체중이 늘지 않았기 때문이었다.
논제 1.에너지(열량) 관점에서 보면 철수가 역기를 100번 드는 데 사용한 운동에너지는 식사 이외에 간식으로 섭취한 에너지의 극히 일부에 지나지 않는다.
그럼에도 불구하고 철수의 체중이 증가하지 않은 이유를 설명하시오.
논제 2.생물체와 비교하여 낮은 자동차의 에너지 효율을 높일 수 있는 방안에 대하여 논술하시오.
◆예시문항 전문은 생글생글I(www.sgsgi.com) 참조.
[문항 1]
(가)
원뿔에 대한 고대 그리스의 연구에 등장한 원,포물선,타원,쌍곡선은 원뿔에 평면을 다양한 각도로 통과시켰을 때 나타나는 곡선이란 의미에서 원뿔곡선 또는 원추곡선이라고 부른다.
현재 사용하고 있는 원,포물선,타원,쌍곡선의 어원은 고대 그리스의 수학자 아폴로니우스의 저서 '원뿔 곡선론'에서 찾아볼 수 있다.
아폴로니우스는 하나의 직원뿔을 여러 가지 평면으로 잘라 이 평면이 밑면과 이루는 각이 모선과 밑면과 이루는 각보다 작은가,같은가,큰가에 따라서 포물선은 '같다'는 뜻에서 parabola의 원어를 썼고,타원은 '부족하다'는 뜻의 ellipse,쌍곡선은 '초과한다'는 뜻의 hyperbola를 썼다.
일반적으로 수학에서는 원추곡선(원뿔곡선)을 이차곡선이라고 부르는데,이는 원추곡선을 좌표 평면 위에 나타내면 이차식이 되기 때문이다.
평면 위에 놓인 공의 그림자에서도 광원의 위치에 따라 다양한 이차곡선을 볼 수 있다.
(나)
이차곡선인 포물선과 쌍곡선은 타원과 더불어 고대에서 현재까지 많은 학자들에 의해 연구되고 있다.
갈릴레오 갈릴레이는 던져진 물체의 궤적을 포물선으로 설명했고,행성 운동의 세 가지 법칙을 발견한 케플러는 타원으로 행성의 궤도를 설명하기도 했다.
또한 고대 그리스의 수학자 아르키메데스가 포에니 전쟁에서 포물면 거울로 햇빛을 모아 나무로 된 로마의 전함에 불을 질렀다는 이야기도 전해지고 있다.
현대에도 이차곡선은 비행기나 선박의 위치를 나타내는 LORAN 항법시스템 등에 사용되기도 하고,그 반사 성질을 이용하여 자동차의 전조등,송·수신용 안테나 및 현대적인 망원경 등과 같은 실생활에 유용한 도구들을 만드는 데도 응용되고 있다.
*포물선:평면 위의 한 정점과 한 정직선으로부터 거리가 같은 점들의
모임
*쌍곡선:평면 위의 두 정점으로부터 거리의 차가 일정한 점들의 모임
논제 1.포물선과 쌍곡선은 모양이 비슷하지만 서로 다른 성질을 갖는 곡선이다.
그 유사점과 차이점에 대하여 설명하시오.
논제 2.천문관측용 반사망원경 중 하나인 카세그레인식 망원경(Cassegrain's Telescope)은 포물선과 쌍곡선의 반사 성질을 이용하여 아래의 그림과 같은 구조로 만들어졌다.
이처럼 포물선과 쌍곡선에서 반사 성질이 성립하는 이유를 설명하시오.
[문항 2]
미분은 곡선의 접선을 긋는 것에서,적분은 곡선으로 둘러싸인 부분의 면적을 구하는 것에서 시작했다고 한다.
미분법과 적분법에 대해서는 그리스 시대부터 논의가 이루어져 왔는데,고대 그리스 수학자 아르키메데스는 오늘날의 구분구적법과 유사한 방법으로 평면 영역과 구면의 넓이를 구하였고,프랑스의 페르마(1601~1665)는 함수의 극소값과 극대값을 구하는 데 미분법과 유사한 방법을 이용하였다.
그러나 오늘날과 같은 미적분학은 뉴턴과 라이프니츠에 의해 발견되었다.
영국의 뉴턴(1642~1727)은 운동체의 속도를 구하는 과정에서 미분법을 발견하였다.
그는 행성의 움직임을 연구하기 위해 미적분을 고안하였으며,미분방정식을 풀어 케플러 법칙을 증명하였다.
독일의 라이프니츠(1646~1716)는 곡선의 접선 또는 함수의 극대·극소를 고찰하는 과정에서 미분법을 발견했으며,현대적인 미분과 적분의 기호를 개발하는 데 크게 공헌하였다.
뉴턴과 라이프니츠가 발견하고,오일러 등 여러 학자에 의해 발전한 미분법과 적분법은 현대수학의 가장 기본적인 개념이 되었을 뿐만 아니라 자연과학,공학 및 사회과학 등 거의 모든 분야에 응용되고 있다.
예를 들어 최대,최소값을 구하는 데 사용되기도 하고,움직이는 물체의 운동이나 사물의 변화하는 현상을 기술하는 데 이용되기도 한다.
논제 1.미분법과 적분법이 평면 또는 공간에서 움직이는 물체의 운동에 대해 어떤 정보를 주는지 설명하시오.
논제 2.원 위에서 일정한 속력으로 움직이는 물체의 가속도 방향은 항상 원의 중심을 향한다.
그 이유를 설명하시오.
[문항 3]
(가)
사람의 감각기관은 대부분 외부의 자극에 대해 로그함수적으로 반응한다.
예를 들어 밝기가 F 1과 F 2 인 두 물체가 있다면,사람의 눈은 그 밝기의 차이를 log(F 2 /F 1)에 비례하여 지각한다.
이러한 눈의 특성을 잘 살펴볼 수 있는 사례가 별의 등급 체계이다.
별의 등급은 고대 그리스의 천문학자인 히파르코스가 도입했는데,별의 밝기가 100배 차이 나면 등급으로는 5등급 차이가 나도록 정의되었다.
즉,별의 등급은 밝기의 로그함수로서,1등급의 차이가 밝기로는 1001/5＝2.512배의 차이라는 것이다.
등급이 클수록 별은 어두우며,맨 눈으로는 약 6등급의 별까지 볼 수 있다.
대형 망원경을 이용할 경우에는 20등급인 어두운 별들도 관측할 수 있다.
(나)
아래의 그림은 밤하늘의 일정한 영역을 대형 망원경으로 관측하여 얻은 결과로,등급이 m인 별보다 밝은 별의 개수 N(
논제 1.만약 밝기가 일정한 별들이 우주공간에 균일하게 분포하고 있다면,N(<m)
논제 2.만약 사람의 눈이 지금보다 밝기에 민감해 1등급과 6등급 별의 밝기 차이가 100배가 아닌 10배였다면,(나)의 관측 결과는 어떻게 달라졌을지 논술하시오.
♥문항 4♥
(가)
자동차는 휘발유를 연소시켜 발생하는 에너지를 운동에너지로 변환하여 사용한다.
자동차의 에너지 효율(연비)은 보통 10km/liter 정도로,1liter의 휘발유가 연소될 때 나오는 열량과 자동차가 한 역학적 일을 비교하면 자동차가 한 역학적 일의 양이 훨씬 적다는 것을 알 수 있다.
사람도 섭취한 음식을 산화·분해하여 살아가는 데 필요한 에너지를 공급받는다.
그 이유는 생물체의 경우 생산한 에너지를 ATP 형태의 작은 에너지 단위(약 7.3kcal/ATP)로 변환하여 사용하기 때문이다.
(나)
근력운동 중 하나인 역기를 드는 운동은 역학적 일을 하는 것인데 여기서 일의 양은 다음과 같이 계산할 수 있다.
질량이 25kg인 역기를 1m 높이로 들면 25kg×9.8m/sec2×1m÷4.2J/cal＝60cal에 해당하는 일을 하게 된다.
따라서 역기를 100번 들면 60cal×100＝6kcal에 해당하는 일을 한 것이다.
(다)
평소에 햄버거를 즐겨 먹던 철수는 2개월 전 동네에 햄버거 가게가 생긴 이후 간식으로 햄버거를 매일 1개씩 먹게 되었다.
그리고 식사 이외에 간식으로 햄버거를 먹기 시작한 이후 체중이 증가할 것을 우려하여,역기 들기를 매일 아침과 저녁에 각각 50번씩 총 100번을 꾸준히 해오고 있었다.
그 결과 철수의 체중은 두 달 전과 비교할 때 별 차이가 없었고 오히려 조금 감소했다.
그동안 식사 이외에 섭취한 햄버거의 열량을 소비하기 위하여 매일 역기를 100번씩 든 것이 실제로는 500kcal를 소비하는 데는 큰 도움이 되지 않았을 것 같은데도 자신의 체중이 늘지 않았기 때문이었다.
논제 1.에너지(열량) 관점에서 보면 철수가 역기를 100번 드는 데 사용한 운동에너지는 식사 이외에 간식으로 섭취한 에너지의 극히 일부에 지나지 않는다.
그럼에도 불구하고 철수의 체중이 증가하지 않은 이유를 설명하시오.
논제 2.생물체와 비교하여 낮은 자동차의 에너지 효율을 높일 수 있는 방안에 대하여 논술하시오.
◆예시문항 전문은 생글생글I(www.sgsgi.com) 참조.
![[2022학년도 논술길잡이] 중앙대 2번 공통유형…반복적 기출풀이 필수](https://img.hankyung.com/photo/202112/AA.26031730.3.jpg)
