[재미있는 통계] 6. 머리 식히는(?) 계산문제들

다음 문제들을 나름대로의 논리로 계산해 보시오.



[ 문제1 ] 시저의 마지막 숨.먼저 숨을 크게 들이쉬어라.셰익스피어의 표현이 정확한 것이라고 가정하면 줄리어스 시저는 마지막 숨을 거두기 전에 "브루투스,너마저"라고 가쁜 숨을 몰아쉬며 말했다.


시저가 죽어가면서 마지막으로 내뱉은 공기 분자를 당신이 지금 들이마셨을 확률은 얼마일까?




[ 문제2 ] 서울 시민 중 적어도 두 사람은 머리카락 수가 똑같다는 것을 증명하라.




[ 문제3 ] 파이(π)의 매직에 관한 문제.개미 한 마리도 지나갈 수 없도록 적도를 따라 지구 둘레를 단단히 맨 띠가 있다.


그런데 이 띠를 늘려서 사람이 그 사이를 기어 나갈 수 있도록 적도를 따라 지구 표면 위로 30㎝씩 띄워서 띠가 지구 전체를 한 바퀴 돌게 만들고 싶다.


그렇다면 띠의 길이를 얼마나 더 길게 해야 할까?




[ 문제4 ] 당신이 1과 100만 사이의 숫자를 하나 선택한다고 할 때 누구든지 당신에게 스무 고개의 질문을 하면 '예, 아니오'라는 대답만으로 당신이 선택한 숫자를 맞힐 수 있다.


어떻게 스무 고개만으로도 선택한 숫자를 알아맞힐 수 있을까?




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[ 정답1 ] 시저가 죽어가면서 마지막으로 내뱉은 공기분자를 당신이 지금 들이마셨을 확률은 놀랍게도 99% 이상이다．99% 이상의 확률로 지금 당신이 그 분자를 들이마셨다는 것이다．


이 답을 믿지 않는 사람에게 설명을 하기 위해서 다음과 같은 가정을 한다．2000년 이상이 지난 후에도 시저가 내뱉은 분자들은 전 세계로 균일하게 퍼져나가 대부분이 아직 대기 중에 떠다니고 있다．이런 이성적으로 정당한 가정 하에서 관련된 확률을 계산하는 문제는 간단하다．


세계의 대기 중에 N개의 분자가 있고,시저가 내뱉은 것은 A개라고 하면 당신이 들이마시는 한 개의 분자가 시저가 내뱉은 것일 확률은 A/N이다．반면에 당신이 들이마시는 한 개의 분자가 시저가 내뱉은 것이 아닐 확률은 1-A/N이다．


당신이 3개의 분자를 들이마신다면 그 세 개의 분자 모두가 시저가 내뱉은 것이 아닐 확률은 곱셈원리에 의해 (1-A/N)×3이다．마찬가지로 당신이 B개의 분자를 들이마신다면 그 모두가 시저가 내뱉은 분자가 아닐 확률은 대략 (1-A/N)×B이다．


따라서 그 반대의 경우,즉 시저가 내뱉은 분자 중 적어도 하나를 당신이 들이마시는 경우의 확률은 1-(1-A/N)×B이다．A,B(각각 2．2×1022분자)와 N(약 1044분자)의 수치를 대입하여 계산하면 그 확률은 0．99 이상이다．


적어도 이렇게 분자를 호흡하는 최소한의 감각에서 우리 모두가 결과적으로 서로의 일부분이라는 사실은 흥미로운 것이다．



[ 정답2 ] 서울 시민 중에 적어도 두 사람은 머리카락 수가 똑 같다는 완전한 사실은 사람들의 머리카락수를 세어서 확인한 것은 아니라 다음과 같이 확률로서 계산을 한 결과에 따른 것이다．


(1)사람들이 머리에 얼마나 많은 머리카락이 있을 수 있을까? 아주 촘촘하게 머리가 난다고 가정하더라도 1 평방 센티미터(c㎡)당 최대 5,000개를 넘을 수는 없다．


(2)머리카락이 나는 머리의 면적은 아무리 머리가 큰 사람도 1,000 평방 센티미터(c㎡)를 넘을 수 없다．


이 두 가지 전제를 바탕으로 하면 사람의 최대 머리카락 수는 5000×1000=500만이다．이 숫자는 서울 시민(약 천만)의 숫자보다 훨씬 작다．따라서 서울 시민 중에 머리카락 수가 똑 같은 사람이 적어도 두 사람 이상이다．



[ 정답3 ] 지구 둘레를 단단히 맨 띠를 늘려서 사람이 그 사이를 기어나갈 수 있도록 만들려면 띠의 길이가 약 188．4㎝ 정도만 더 길어지면 충분하다．


답은 원의 둘레 공식 C=πD 속에 들어있다．띠를 지구 표면 위로 30cm씩 높이려면 원래 띠의 지름이 60cm더 늘어나야 한다．따라서 더 긴 둘레는 π×(D+60cm)이고,그것은 (π×D)+(π×60cm)=π×D+188．4cm이다． 그래서 188．4cm가 더 필요하다．



[ 정답4 ]매번의 질문으로 가능성은 절반으로 줄어든다．예컨대 "그것이 50만과 같거나 그보다 작습니까?"의 첫 번째 질문으로 1백만×(1/2)의 가능성이 남는다．


두 번의 질문으로 1,000,000(1/2)2이 남고, 20번의 질문으로 1,000,000(1/2)20의 가능성이 남는다． 마지막 가능성의 수는 1보다 작기 때문에 그 숫자를 알 수 있다．


1과 10억 사이의 숫자를 결정하려면 30차례의 질문이면 충분하다．1,000,000,000(1/2)30이 1보다 작기 때문이다．


김진호 교수 jhkim@kndu.ac.kr


[ 약력 ]


△서울대 경영대 졸업


△미국 펜실베이니아대 와튼스쿨 경영학 석·박사


△(전)KBS 선거예측조사 자문위원


△(현)국방대 경영학과 교수