[영·수야! 놀자] 서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계-배시원 쌤의 신나는 영어여행

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - 적분은 면적에서, 미분은 접선에서 출발

미적분학에서 평균값 정리(mean value theorem)의 중요성을 강조하기 위해 ‘MVT is the MVT!(Mean value theorem is the most valuable theorem!)’라는 문장이 있다. 미적분학에서 가장 중요한 정리는 수식1과 같다. 적분은 면적 문제에서, 미분은 접선 문제에서 시작돼 출발점이 서로 다른 두 개념 사이의 관계를 설명하는 정리이기 때문이다. 미적분학의 기본정리를 증명할 때 평균값 정리가 사용된다는 점만 보더라도 미적분학에서 평균값 정리가 갖는 의미를 알 수 있다. 물론 이외에도 평균값 정리의 활용이나 확장은 미적분학 도처에서 찾을 수 있다.

평균값 정리는 함수 f(x)가 닫힌 구간［a,b］에서 연속이고 열린 구간 (a, b)에서 미분 가능일 때 수식 2를 만족하는 c가 열린 구간 (a, b)에 적어도 하나 존재한다는 것을 의미한다. 그래프를 통해 해석해 보면 좌표평면에서 두 점 (a, f(a)), (b, f(b))를 잇는 직선의 기울기와 평행한 접선이 존재한다는 의미다. 만약 f(a)=f(b)이면 구간［a,b］에서 기울기가 0인 접선이 존재한다는 것으로 이를 롤(Rolle)의 정리라 한다. (LoL이 아니다!)

롤의 정리를 증명해보면 함수 f(x)가［a,b］에서 연속이고 (a, b)에서 미분가능하며 f(a)=f(b)이다. 먼저 구간［a,b］에서 f(x)가 상수함수인 경우 (a, b) 안의 모든 x에 대하여 f' (x)=0 이다. f(x)가 상수함수가 아닌 경우 f(x) ＞ f(a)인 x가 존재한다고 하면 f(x)가［a,b］내부에서 최댓값을 갖게 된다. x=c에서 최댓값을 갖게 된다. x=c에서 최댓값을 갖는다고 하면 미분가능성과 극한의 성질에 의해 수식3이므로 f' (c)=0 이 된다.

이제 롤의 정리를 이용해 평균값 정리를 증명해보자. 수식 4와 같다고 가정해보자. (y=g(x)는 두 점 (a, f(a)), (b, f(b))를 지나는 직선의 방정식이다.) 이제 h(x)=f(x)-g(x)라 두면 h(x)는［a,b］에서 연속이고 (a, b)에서 미분가능하며 h(a)=0=h(b)이므로 롤의 정리에 의해 h' (c)=0인 c가 (a, b) 안에 존재한다. 즉 f'(c)=g'(c)이고 수식 5이므로 증명 끝이다.

■김국인 선생님

김국인 선생님은 현재 서울과학고등학교에 근무하신다. 서울대에서 수학교육을 전공하였으며 서울대 교육대학원에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 현재 전국연합 모의고사 출제위원으로 활동하고 있다.


배시원 쌤의 신나는 영어여행 - Put the cart before the horse…‘주객전도’ 라는 뜻이에요

오늘 만나 볼 주인공들은 12지신 중 7번째와 8번째에 해당하는 ‘말’과 ‘양’입니다.

말은 우리에게 참 친숙한 동물답게, 정말 다양한 표현을 가지고 있는데, 우선 put the cart before the horse라는 표현을 들 수 있습니다. 우리말의 ‘주객전도’와 비슷한 표현으로 horse(말)이 cart(짐수레)를 끌어야 하는데, 반대로 cart가 horse 앞에 있으니, ‘순서 혹은 이치에 맞지 않는 일을 하다’의 뜻을 가지게 되었답니다. 수능 모의고사나 내신 시험에도 종종 나오는 표현이니 꼭 기억해 두길 바랍니다.

위 표현만큼 많이 쓰이는 표현으로는 eat like a horse를 들 수 있습니다. ‘엄청나게 많이 먹는다’라는 뜻으로 이 표현 역시 텝스 시험에서 흔히 볼 수 있습니다. 많은 사람이 이때 eat like a pig라는 표현을 고르는 경우가 있는데, 이것은 ‘게걸스럽게 먹는다’라는 부정적인 의미를 가지고 있기 때문에 함부로 쓰면 위험하다는 것을 꼭 알아두세요. 우리도 ‘소 잃고 외양간 고친다’라고는 하지만 ‘말 잃고 마구간 고친다’라고는 하지 않듯이 문화에 따라 그 상황에 맞는 표현이 정말 다르답니다~!!!

말은 이처럼 ‘대식가’이기도 하지만, 의외로 똑똑한 동물의 이미지도 있답니다. 그래서 상식(common sense)을 horse sense라고 하기도 한답니다. 또 말과 관련된 재밌는 표현으로 charley horse를 들 수 있습니다. 놀랍게도 ‘(쥐)근육의 경련’을 뜻하는 말인데, 늙은 말을 charley라고 부른 것에서 유래되었다고 합니다. 아무래도 늙은 말들은 근육이 경련이 많이 일어났던 것 같습니다.

올해가 을미년 ‘양’의 해다 보니, 올초에 양에 관련된 표현들을 자세히 다뤘습니다. ‘무리에서 따돌림 받는 존재, 골칫거리/말썽꾼’을 뜻하는 black sheep이나 (잠이 오지 않을 때) ‘머릿속으로 양을 세다’라는 뜻의 count sheep, 그리고 ‘선악을 구별하다’라는 뜻을 가진 separate the sheep from the goats나 ‘추파를 던지다’라는 뜻의 cast sheep’s eyes at 등의 표현을 다 기억나시나요?

이 외에도 말이나 양과 관련된 표현들은 정말 많답니다. 책을 읽다가, 음악을 듣다가, 영화를 보다가 이런 표현을 만난다면 꼭 반갑게 아는 척해주세요~^^*

■ 배시원 선생님

배시원 선생님은 호주 맥쿼리대 통번역 대학원에서 석사학위를 받았으며 현재 배시원 영어교실 원장을 맡고 있다. 김영 편입학원, YBM, ANC 승무원학원 등에서 토익·토플을 강의했다. 고려대 성균관대 등 대학에서도 토익·토플을 가르치고, 한영외고 중앙고 숭문고 등에서 방과후 텝스를 강의했다.