[영·수야! 놀자] 하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계-배시원 쌤의 신나는 영어여행

하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계 - 수능에 매년 출제되는 ‘행렬의 성질’

매년 대학수학능력시험 수학 영역에서 빠지지 않고 출제되는 유형 가운데 하나가 바로 ‘행렬의 성질’에 관한 문제이다. 매년 출제되기 때문에 출제위원들이 기출문제와 겹치지 않게 새로 문제를 만들다 보니 갈수록 어려워지는 경향이 있다. 하지만 문제가 복잡하고 난도가 높아져도 행렬의 기본적인 성질에 대해 정확히 이해하고 있다면 그리 어렵지 않을 것이다. 오늘은 이차 정사각형행렬 Α에 대해 Α-kΕ(k는 실수, Ε는 이차단위행렬)의 꼴로 표현되는 행렬의 성질을 간단히 알아보자.

행렬에 관한 문제에는 역행렬의 존재성을 묻는 문제가 많다. 독자들도 잘 알고 있듯이 이차정사각형행렬의 역행렬 존재성은 다음 성질을 이용해 판별한다.

수식 1을 행렬 Α의 행렬식이라고 한다면 다음이 성립한다.

첫째 |Α|≠0이면 행렬 Α의 역행렬이 존재한다.

둘째 |Α|=0이면 행렬 Α의 역행렬이 존재하지 않는다.

이차정사각형행렬 Α와 단위행렬의 실수배의 합으로 표현되는 행렬 Α-kΕ는 실수 k의 값이 변함에 따라 역행렬이 존재성이 결정된다. 수식 2와 같이 Α-kΕ의 행력실 |Α-kΕ|=(a-k)(d-k)-bc=0일 때 Α-kΕ의 역행렬은 존재하지 않는다.

그런데 (a-k)(d-k)-bc=0을 만족하는 k는 이차방정식 k²-(a+d)k+(ad-bc)=0의 근이므로 많아야 2개밖에 존재하지 않는다. 이를 정리하면 이차정사각행렬 Α에 대하여 Α-kΕ의 역행렬이 존재하지 않는 k는 최대 2개이다. 이 정리를 이용하면 다음 명제는 당연히 참이다.

<명제> 행렬 Α, Α+Ε, Α-Ε 중 적어도 하나는 역행렬을 가진다. 한편 이차정사각행렬 Α에 대해 다음이 성립함이 잘 알려져 있다.

<케일리 해밀턴 정리> Α²-(a+d)Α+(ad-bc)Ε=0이다. 위의 정리와 케일리 해밀턴 정리를 이용하면 다음 정리도 끌어낼 수 있다. 이차정사각형행렬 Α에 대해 Α-kΕ, Α-βΕ의 역행렬이 모두 존재하지 않으면 (Α-kΕ)(Α-βΕ)=0이다. 단(k≠β)

■ 조계성 선생님

조계성 선생님은 현재 하나고 에 근무하신다. 명덕외고, 대성학원에서도 수학을 가르쳤다. 전국연합모의고사 출제위원도 맡고 있다. 서울대에서 수학교육을 전공했으며 연세대에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 저서로는 ‘개념+유형 시리즈’ 등 다수가 있다.



배시원 쌤의 신나는 영어여행 - 시험에서 헷갈리는 혼동 어휘들

한 부모 아래에서 태어났다고 해서 형제자매들의 생김새나 성격까지 같은 것은 아닙니다. 영어 단어 역시 같은 단어에서 파생되었다고 해서 반드시 그 뜻이나 쓰임이 같지는 않습니다. 그래서 오늘은 시험에서 우리를 참 헷갈리게 하는 파생어와 관련된 혼동어휘에 대해 알아보도록 하겠습니다.

condescending이란 단어는 ‘겸손한’과 ‘거들먹거리는’이라는 반대의 뜻을 동시에 가지고 있어요

여러 단어를 만나기에 앞서 우선 지난 시간에 배웠던 successful(성공적인)과 successive(연속하는)부터 복습하고 가겠습니다. succeed는 in과 함께 쓰면 ‘성공하다’의 뜻이지만, succeed to가 되면 ‘물려받다, 계승하다’가 되는 것처럼 반드시 단어는 덩어리째 예문 속에서 외우는 습관을 가져야 합니다.

너무나 많아서 오히려 예를 들기가 쉽지 않지만, 꼭 기억해야 하는 친구들 위주로 말씀드리자면 momentary는 ‘순간의’란 뜻이지만 momentous는 ‘중요한’이란 뜻입니다. installation은 ‘설치’라는 뜻이지만 installment는 ‘할부’라는 뜻입니다. considerable은 ‘상당한, 중요한’이란 뜻이지만 considerate는 ‘사려 깊은’이란 뜻입니다. industrial은 ‘산업의’란 뜻이지만 industrious는 ‘부지런한’이란 뜻입니다. exhausted는 ‘소모된, 고갈된’이란 뜻이지만 exhaustive는 ‘철저한, 완전한’이란 뜻입니다. childish는 ‘유치한’이란 뜻이지만 childlike는 ‘순진한’이란 뜻입니다. credible은 ‘믿을 만한’이란 뜻이지만 credulous는 ‘속기 쉬운’이란 뜻입니다.

위에서 말씀드린 것처럼 정말 이런 예들은 수도 없이 많고, 또 시중에 나와 있는 어휘책에 잘 정리돼 있으니 이 글에서는 이쯤 하면 될 것 같습니다. 그렇다면 이런 어휘들은 어떻게 공부해야 할까요?

다행히도 엄격히 말해 이 세상에 ‘다의어’는 존재하지 않습니다. 원래 하나의 뜻을 가진 단어가 시간이 변하고 상황이 바뀌면서 의미가 추가되고 변화된 것이랍니다. 보통 구체적 의미가 추상적인 의미로, 그리고 추상적 의미가 상징적 의미로 발달한다고 하는데 우리는 언어학자가 아니니 단어의 중심의미를 생각하며 다양한 예문을 통해 익히는 것이 제일 좋습니다.

예를 들어 condescending이란 단어는 놀랍게도 ‘겸손한’과 ‘거들먹거리는’이라는 반대의 뜻을 동시에 가지고 있답니다. 사실 이 단어는 con(함께)+descend(내려오다)라는 말로, 원래는 귀족이 하인들이 인사할 때 함께 몸을 굽힌 것에서 유래해 ‘겸손한’이란 뜻으로 사용되었지만 점차 가식적으로 이런 행동을 하는 사람이 많아지자 ‘생색내는 듯한’ 등의 뜻이 추가된 것이랍니다. 현재에는 주로 부정적인 뜻으로 많이 쓰입니다.

우리말에도 조선 시대 때 ‘어리석은’이란 뜻으로 쓰인 [어린]이란 단어가 지금은 ‘나이가 적은’이란 뜻으로 쓰이는 것처럼 단어는 늘 변하기 때문에 여러 상황 속에서 자주 만나지 않으면 결국 나중에 몰라볼 수밖에 없습니다.

■ 배시원 선생님

배시원 선생님은 호주 맥쿼리대 통번역 대학원에서 석사학위를 받았으며 현재 배시원 영어교실 원장을 맡고 있다. 김영 편입학원, YBM, ANC 승무원학원 등에서 토익·토플을 강의했다. 고려대 성균관대 등 대학에서도 토익·토플을 가르치고, 한영외고 중앙고 숭문고 등에서 방과후 텝스를 강의했다.