[영·수야! 놀자] 하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계-배시원 쌤의 신나는 영어여행

하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계 - '점·직선 사이 거리'의 증명

한 점 P(x₁,y₁)에서 직선 ℓ:ax+by+c=0에 이르는 거리는 수식 1 임을 잘 알고 있다. 허나 이 공식을 자연스럽게 잘 사용하는 수학 실력이 좋은 학생들조차 이 공식의 유도과정을 설명해보라는 질문에는 무척 난감해한다. 실제로 공식을 유도하는 과정이 만만치 않을 뿐 아니라 교과서를 찾아보아도 설명 방식이 복잡하고 딱딱해 관심을 두기 쉽지 않다. 교과서에 소개된 방법에 비해 간단하고 흥미로운 증명방법을 몇 가지 소개한다.

방법 1. 벡터의 내적 이용

직선 ℓ:ax+by+c=0에서 벡터(a,b)는 직선 ℓ에 수직인 방향의 벡터임을 이용하자. 그림과 같이 직선 위의 한점 A(x₂,y₂)와 직선 위에 있지 않은 점 P(x₁,y₁)에 대해 수식 2 라 하면 수식 3 즉 두 벡터의 내적의 절대값이 곧 구하는 거리 d가 된다. 수식 4

A(x₂,y₂)는 직선 ax+by+c=0 위의 점이므로 ax₂+by₂=-c 이다. 이것을 ①에 대입하여 정리하면 수식 5 를 얻는다. 이와 같은 생각을 공간으로 확장하면 점과 평면사이의 거리 수식 6 도 어렵지 않게 얻을 수 있다.

방법 2. 코시-슈바르츠 부등식 이용

점 P(x₁,y₁)와 직선 ℓ위의 점 A(x₂,y₂)에 대해 선분 PA의 최소값이 곧 구하는 거리 d이므로 PA의 최소값을 구한다. 다음과 같이 코시-슈바르츠 부등식을 이용해보자. 수식 7
A(x₂,y₂)는 직선 ax+by+c=0 위의 점이므로 ax₂+by₂=-c 이다. 이것을 ②에 대입하여 정리하면 수식 8 을 얻을 수 있다. 여기서 등호는 수식 9 일 때 성립함을 알 수 있는데 이는 직선과 수직으로 만날 때를 의미한다.

조계성 선생님은 현재 하나고 에 근무하신다. 명덕외고, 대성학원에서도 수학을 가르쳤다. 전국연합모의고사 출제위원도 맡고 있다. 서울대에서 수학교육을 전공했으며 연세대에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 저서로는 ‘개념+유형 시리즈’ 등 다수가 있다.






배시원 쌤의 신나는 영어여행 - 손·발에도 재미있는 영어가 숨어있네…hour hand,factory hands,finger man…

cost arms and legs는 무슨 뜻일까요? 우선 이 표현을 설명하기 전에 give one’s ears와 pay through the nose란 표현 기억하시나요? 각각 귀와 코가 잘릴 정도로 ‘엄청난 대가를 치르다’란 뜻인데, cost arms and legs 역시 ‘팔과 다리’의 값을 치를 정도로 ‘엄청나게 비싸다’라는 의미로 사용되는 표현입니다. 이처럼 영어에는 우리의 신체 부위와 관련된 표현이 정말 많답니다.

지난 시간에는 ‘손과 발’에 해당하는 어원을 중심으로 표현을 살펴봤다면, 이번 시간에는 hand와 finger가 들어가는 표현에 대해 알아보도록 하겠습니다. 우선 우리가 가장 많이 사용하는 신체 부위 중 하나인 손은 정말 다양한 뜻으로 사용되는데, 일단 시곗바늘이란 뜻으로도 많이 쓰인답니다. 그래서 시침은 hour hand, 분침은 minute hand, 그리고 초침은 second hand라고 하지요.

또 우리나라에서도 ‘일손’이란 표현을 쓰듯이 영어에서도 factory hands는 ‘공장 직원’을 뜻하고, farm hands라고 하면 ‘농부’를 가리킨답니다. 또한 ‘승무원’이란 뜻도 있어서 All hands on deck이라고 하면 ‘(승무원) 전원 갑판에 집합’이란 뜻이 되는 것이지요.

그리고 우리가 누구를 가리킬 때 손가락을 사용하잖아요. 그래서 finger가 동사로 쓰이면 ‘범인을 지적하다’라는 뜻으로 미드나 영화에 많이 나온답니다. 그럼 finger man이 왜 ‘밀고자’가 되는지 알겠지요? 그런데 finger man엔 ‘(살인 등을) 지시하는 사람’이란 뜻도 있답니다. 역시 누군가를 가리킬 때는 손가락을 사용하는 것이 제일 자연스러운 것 같습니다.

(two) thumbs up이란 표현도 많이 쓰이는데, ‘최고’를 뜻할 때 양쪽 엄지를 올리는 모습을 떠올리면 쉽게 이해할 수 있을 겁니다. 원래 로마 시대 때 황제가 목숨을 살리고 싶으면 엄지손가락을 들어올리고(thumb up), 그 반대의 경우에는 엄지손가락을 내리는 데서(thumb down) 유래되었다고 하는데, 그래서 오늘날에도 thumb down이 ‘~을 거부하다’라는 뜻으로 쓰인답니다.

끝으로 green thumb은 ‘식물을 잘 키우는 능력’을 가리키는데 아무래도 식물을 많이 만지는 사람은 엄지손가락이 녹색으로 물들어 있겠지요. 그래서 brown thumb이라고 하면 ‘식물 재배에 재능이 없는 사람’을 뜻한답니다. 참고로 저는 진정한 brown thumb을 가진 사람입니다~^^;

배시원 선생님은 호주 맥쿼리대 통번역 대학원에서 석사학위를 받았으며 현재 배시원 영어교실 원장을 맡고 있다. 김영 편입학원, YBM, ANC 승무원학원 등에서 토익·토플을 강의했다. 고려대 성균관대 등 대학에서도 토익·토플을 가르치고, 한영외고 중앙고 숭문고 등에서 방과후 텝스를 강의했다.