[영·수야! 놀자] 하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계-배시원 쌤의 신나는 영어여행

하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계 - 배열 원리 풀어주는 '비둘기집의 원리'

공원에서 비둘기 21마리가 한가롭게 놀고 있다. 밤이 되자 각자 잠을 청하기 위해 공원 한쪽에 마련된 집으로 돌아가려고 한다. 그런데 비둘기 집에는 방이 20개밖에 없다. 21마리의 비둘기 모두에게 방이 하나씩 돌아가지 않으므로 비둘기 중 적어도 2마리는 한 방에 같이 들어가 비좁게 잠을 잘 수밖에 없다.

이것은 독일의 수학자 디리클레가 수학 문제의 해결에 사용한 원리로 ‘비둘기 집의 원리’ 또는 ‘디리클레의 서랍 원리’ 등으로 불린다. 이 원리의 일반적 개념은 ‘n개의 비둘기 집에 (n+1)마리 이상의 비둘기가 들어간다면, 두 마리 이상의 비둘기가 들어간 비둘기 집이 적어도 하나 있다.’는 논리이다.

이 원리는 지극히 당연하고 사소하게 보인다. 하지만 이 원리를 이용하면 아주 복잡해 보이거나 도저히 풀 수 없어 보이는 문제도 간단하게 해결할 수 있는 경우가 있다.

이 원리는 이산수학에서 주요 관심사 중 하나인 배열이나 패턴의 존재성 문제를 해결하는 강력한 도구가 되기도 한다. 비둘기 집의 원리를 이용하여 다음 문제를 풀어보자.

문제 1 그림과 같이 한 변의 길이가 2인 정사각형 내부에 임의로 5개의 점을 찍을 때 두 점 사이의 거리가 √2 보다 크지 않은 점들이 반드시 존재함을 보여라.

해설 그림과 같이 정사각형을 4등분해 5개의 점을 찍을 때 적어도 2개의 점은 같은 방에 들어가게 된다. 작은 정사각형의 대각선 길이는 √2이므로 같은 방에 들어간 두 점 사이의 거리는 √2 보다 크지 않다. 이 문제를 통해 워밍업이 됐다면 비둘기 집을 좀 더 기술적으로 나눠서 해결하는 문제에 도전해보도록 하자.

문제 2 1에서 62까지의 자연수 중 임의로 6개를 고르면 이 중에는 m≤2n을 만족하는 자연수 m,n이 반드시 존재함을 보여라.

해설 다음과 같이 비둘기 집을 나타내는 각 집합의 원소는 최대수가 최소수의 2배가 되도록 하자.

수식1

5개의 집합에서 6개의 원소를 선택해야 하므로 적어도 2개의 원소는 같은 집합 안에서 선택된다. 즉, m≤2n을 만족하는 자연수 m,n 이 반드시 존재한다. 위에서 언급한 ‘n개의 비둘기 집에 (n+1)마리 이상의 비둘기가 들어간다면, 두 마리 이상의 비둘기가 들어간 비둘기 집이 적어도 하나 있다.’ 의 비둘기 집의 원리를 좀 더 일반화하면 다음과 같다.

m≥n 일때, m마리의 비둘기를 n개의 비둘기 집에 아무렇게나 넣으면 하나의 비둘기 집에는 적어도 k 마리 이상의 비둘기가 있게 된다. 여기서 k는

수식 2

단, ［x ］는 x를 넘지 않는 최대정수를 뜻한다.

조계성 선생님은 현재 하나고 에 근무하신다. 명덕외고, 대성학원에서도 수학을 가르쳤다. 전국연합모의고사 출제위원도 맡고 있다. 서울대에서 수학교육을 전공했으며 연세대에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 저서로는 ‘개념+유형 시리즈’ 등 다수가 있다.



배시원 쌤의 신나는 영어여행 - trophy·spoils…전리품을 의미하는 단어들이죠

‘전리품’은 영어로 뭘까요? 많은 학생들이 영작을 할 때 전리품이란 단어가 있으면 난감한 표정을 지을 때가 있는데, 그냥 trophy 정도만 써줘도 괜찮습니다. 맨날 어려운 단어만 외웠지, 정작 자기가 아는 단어는 못 써먹는 경우가 참 많거든요.

참고로 trophy child는 ‘다른 사람에게 감동을 주어 부모의 명예를 드높이는 아이’를 가리키며, trophy wife는 ‘성공한 중년 남성의 훈장 같은 아내’를 가리키는데, [위기의 주부들] 제작진이 만든 새로운 미드 제목이기도 합니다.

또 우리가 그냥 영어 속담의 단어로만 외웠던 Too many cooks spoil the broth(사공이 많으면, 배가 산으로 간다.) Spare the rod and spoil the child(매를 아끼면, 아이를 망친다.)의 spoil이란 단어도 [spoils]로 쓰면 ‘전리품, 노획물’이란 뜻이 됩니다. (영어 단어는 쉬운데 우리말 단어가 어렵다고 느껴지는 학생들은 우선 우리말 단어 공부부터 하는 것이 중요합니다.)

이런 이유로 spoils가 미국에서는 ‘관직의 부수입’이나 ‘이권’ 등으로 많이 쓰이고, spoil이 기본적으로 망치다의 뜻을 가지고 있기 때문에 영화 결말 부분을 폭로하는 것을 spoiler라고 하지요. 그래서 spoiler party가 [양당(2개의 정당) 중 한쪽 선거를 방해하는 제3당]의 뜻으로 뉴스와 신문에 나온답니다.

전쟁과 관련된 단어들을 좀 더 살펴보면 우리가 단순히 ‘임금’이라고만 외웠던 wage가 동사로 쓰이면 ‘전쟁, 투쟁 등을 하다’라는 뜻을 갖기도 합니다. 그래서 wage (a) war against가 되면 ‘~와 전쟁을 벌이다.’라는 뜻이 되고, wage an anti-smoking campaign은 ‘금연 운동을 벌이다.’라고 해석할 수 있겠지요.

끝으로 우리가 그저 ‘잡지’라는 뜻으로만 외웠던 magazine 역시 ‘탄약, 혹은 탄창’이라는 뜻으로도 잘 사용됩니다. 그러니 전쟁 영화를 보거나, 총격전이 나오는 미드에서 magazine이라는 단어를 들었다고 해서 ‘아, 저 사람들은 [잡지]가 떨어져서 저렇게 목숨을 걸고 싸우는구나’라고 생각하시면 안 됩니다.

네, 우리는 생각보다 많은 단어를 알고 있습니다. 현지인도 잘 쓰지 않는 단어와 표현들을 외우는 시간에 우리가 안다고 착각하는 단어들이 문장 속에서 또 어떤 다른 의미로 쓰이는지 궁금해 한다면, 영어를 조금 더 쉽고 재밌게 공부하는 방법이 되리라 확신합니다.

배시원 선생님은 호주 맥쿼리대 통번역 대학원에서 석사학위를 받았으며 현재 배시원 영어교실 원장을 맡고 있다. 김영 편입학원, YBM, ANC 승무원학원 등에서 토익·토플을 강의했다. 고려대 성균관대 등 대학에서도 토익·토플을 가르치고, 한영외고 중앙고 숭문고 등에서 방과후 텝스를 강의했다.