[논술 길잡이] 유경호의 자·수·전 ⑫

뉴턴의 미적분-「함수」편

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전통적으로 영국인과 독일인들은 서로 라이벌 의식을 가지고 있다.

제1，2차 세계대전도 이들 두 나라의 자존심 싸움처럼 전개됐는데，오늘날에는 축구로 그들의 라이벌 의식을 북돋우고，때로는 지나친 응원으로 서로 다치는 불상사도 자주 일어나고 있음을 외신을 통하여 볼 수 있다.

이와 같은 라이벌 의식은 17세기로 거슬러 올라가도 여전했음을 알 수 있는데，그것은 영국의 뉴턴과 독일의 라이프니치의 미적분 발견에 관한 대결이다.

뉴턴과 라이프니치는 각각 독창적으로 미적분을 발견했다.

라이프니치는1673년부터 1676년 사이에 미적분을 고안하여 발표했다.

그런데 뉴턴은 1660년대 후반에 이미 미적분을 발견했으나，발표를 라이프니치보다 늦은 1704년에 광학이라는 책의 부록에 발표했다.

그러나 이것이 완성된 형태로 발표된 것은 뉴턴 사후 9년이 지난 1736년이었다.

영국인들은 라이프니치의 논문을 보고 뉴턴의 것을 모방한 것이라고 주장했다.

한편 라이프니치 지지자들은 뉴턴이 라이프니치의 발표보다 늦게 했다는 것을 들어서 오히려 뉴턴이 라이프니치의 것을 표절했다고 주장했다.

상황이 감정 싸움으로 비화해 이후에 수학의 학문적 교류가 끊겼고，이로 인해 영국 수학의 발전이 100년 정도 지연되었다고 한다.

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위의 교과서 내용처럼 미적분에 관한 생각은 뉴턴과 라이프니치가 다르게 시작했다.

우선 뉴턴의 미적분은 물체의 운동에 관한 고찰에서 시작한다.

물리에서 다루는 물체의 운동은 시간에 따른 물체 위치의 변화를 말한다.

뉴턴은 물체의 운동에서 시간이 0으로 가까이 갈 때，물체의 위치 변화를 생각하다 미분법을 발견했다.

뉴턴의 미분은 물체 운동의 위치 변화율이다.

즉，속도이다.

따라서 이 속도를 알고 있다면 매 시간대의 위치 변화를 알 수 있을 것이다.

그리고 속도를 알고 있을 때 그 위치의 변화를 추정하는 것은 미분의 역산인 적분의 개념이다.

이렇게 모든 물체의 운동을 시간에 관한 함수로 생각하고 그것을 미분한 것이 속도이고 그것의 적분이 물체의 위치 정보를 준다는 것을 미적분의 관계로 알 수 있다.

한편 라이프니치는 좌표평면 위에서 곡선의 접선 기울기를 고찰하는 과정에서 미분법을 발견했다.

그리고 여러분들은 f′(x)와 f''(x)가 곡선을 그릴 때 어떠한 정보를 주는지 잘 알고 있다.

여러분들의 수학 교과서를 보라.미적분의 대부분이 라이프니치가 발견한 미적분이라는 것을 알 수 있다.

그리고 이것은 그래프를 잘 그려서 극대/극소，최대/최소 그리고 이를 이용한 방정식이나 부등식을 쉽게 해결하는 방법을 제시한다.

많은 학생들이 그래프를 그리고 그래프로 둘러싸인 면적이나 회전체의 부피를 구하는 것은 잘 한다.

즉 교과서에서 많은 부분을 차지하고 있는 라이프니치의 미적분은 잘 알고 있다.

그러나 교과서의 적은 부분을 차지하고 있는 속도，가속도에 관한 뉴턴의 미적분은 잘 모른다.

예를 들어 다음과 같은 수능 문제는 많은 학생들이 어려워한다.

이 문제는 평면위에서 t에 따라 움직이는 점 (x,y)의 위치를 알고자 하는 데 있다.

즉 수Ⅱ에서 다루는 1차원적인 사고에서 미적분에서 다루는 2차원적 사고로 확장할 필요가 있다.

앞으로 이것은 수능과 논술에서 더 중요한 부분을 차지하게 될 것이다.

수Ⅱ 에서 다루는 속도는 수직선상(1차원)에서 시간에 따른 위치의 변화율

미적분학에서 다루는 속도는 평면상(2차원)에서 시간에 따른 위치의 변화율

[참고자료] 고등학교 수학2， 교학사

2003학년도 서울대 구술면접 문제

S논술 자연계 논술팀장 cafe.daum.net/mathyou