[논술 길잡이] 유경호의 자·수·전 ⑦

자연계 수능·논술 해결을 위한 수학적 전략

이차곡선의 광학적 성질Ⅱ-「도형」편

지난 주 「자.수.전」을 통해 이차곡선의 광학적 성질은 이차곡선의 초점과 밀접한 관련이 있음을 알았다.

그리고 전파나 빛은 기본적으로 가장 짧은 시간의 경로로 진행한다는 페르마의 법칙을 따르는 것도 확인하였다.

또한 페르마의 법칙으로부터 이차곡선의 반사에서 입사각과 반사각이 같음을 알았다.

예를 들어 [그림 1]에서 점 A에서 출발한 빛이 직선 L에 반사하여 점 B를 지나는 경로를 다시 한 번 생각해 보자. 우선 가장 짧은 시간의 경로를 찾아야 한다.

그런데 같은 매질에서는 속력이 일정하므로 가장 짧은 시간의 경로는 가장 짧은 거리의 경로와 같다.

즉 점 A로부터 직선 L 위의 어느 한 점을 지나 점 B로 가는 최단거리의 경로를 찾으면 된다.

이것은 점 A를 직선 L에 대칭이동한 점을 정하면 최단거리의 경로가 되는 직선 L위의 점을 쉽게 찾을 수 있다.

그리고 이 과정에서 입사각과 반사각이 같다는 사실도 쉽게 확인할 수 있다.

이제， 여러 가지 이차곡선의 반사를 알아보자.

[그림 2]와 같이 포물선의 축과 평행하게 들어오는 빛은 포물선 거울 면에 반사하여 초점으로 들어온다.

[그림 3]과 같이 타원의 한 초점에서 출발한 빛은 타원 거울 면에 반사하여 다른 초점으로 들어온다.

[그림 4]와 같이 쌍곡선의 한 초점으로 들어오는 빛은 쌍곡선 거울 면에 반사하여 다른 초점으로 들어온다.

이 모든 이차곡선의 반사에 관한 빛의 경로는 페르마의 법칙을 따른다.

속력이 같은 매질에서 빛의 경로가 페르마의 법칙을 따르는 것을 기하학적으로 확인할 수 있다.

또한 이를 통해 반사의 법칙이 성립함도 확인할 수 있다.

이렇게 이차곡선의 광학적 성질은 과학과 수학의 통합 주제로 자연계 통합논술로 적합한 부분이다.

따라서 수학과 물리의 통합문제로서 자연계 논술 문제로 많이 출제될 것으로 예상된다.

다음은 '2008학년도 연세대 2차 자연계 모의논술' 중 일부이다.

지금까지 배웠던 이차곡선의 광학적 성질을 이 문제를 통해 다시 한 번 확인해 보자.

(타원의 광학적 성질) 평면위의 두 점 A, B로부터 거리의 합이 일정한 점들로 이루어진 곡선을 타원이라고 하고，이 두 점을 타원의 초점이라고 한다.

라틴어로 초점은 불을 지피는 장소를 의미하는데，그 이유는 타원의 모양을 따라 거울을 설치하고 한 초점에 불을 지피면 불빛이 타원표면에 설치한 거울에 반사되어 다른 초점으로 가기 때문이다.

타원 위의 점 C에서의 접선을 L이라고 하면，타원은 이차곡선이므로 타원과 직선 L은 C에서만 만난다.

또한 C를 제외한 직선 L상의 임의의 점 D는 타원 밖에 있다.

이 때，초점 A, B로부터 D까지 거리의 합이 초점 A, B로부터 C까지 거리의 합보다 큼을 알 수 있다.

즉 선분 BD와 타원과의 교점을 E라고 하면，삼각형 △ADE의 두 변의 길이 합(AD+DE)은 다른 한 변의 길이 (AE)보다 크므로 AD+DB = AD+DE+EB > AE+EB가 성립한다.

또한 E는 타원 위의 점이므로，타원의 정의에 의하여 AE+EB=AC+CB이고，따라서

AD+DB > AC+CB

이다.

즉 A에서 직선 L상의 한 점을 지나 B로 가는 최단 경로는 C를 지나는 것이다.

이 최적의 점 C는 다른 방법으로도 구할 수 있는데，B를 직선 L에 대하여 반사시킨 점 B'와 A를 직선으로 연결할 때 직선 L이 만나는 점이 바로 그 최적의 점이 된다.

이 최적의 점이 C이므로，선분 AC와 접선 L사이의 각 θ1과 선분 BC와 접선 L사이의 각 θ2가 같음을 알 수 있다.

θ1 = π - ∠B'CD = θ2

따라서 빛이 A에서 출발하여 C에 도달하면，빛이 반사할 때 입사각(π/2-θ1 )과 반사각(π/2-θ2 )이 같기 때문에，C에서 반사된 빛은 B로 향하게 된다.

[문제] 평면 위의 두 점 A, B로부터 거리의 차가 일정한 점들로 이루어진 곡선을 쌍곡선이라고 하고，이 두 점을 쌍곡선의 초점이라고 한다.

쌍곡선의 모양을 따라 거울을 설치하고 한 초점에 불을 지피면 불빛이 쌍곡선면에 설치한 거울에 반사되어 어느 방향으로 진행하는지를 논리적으로 설명하시오.

타원의 광학적 성질을 설명하는 위의 제시문과 같이 기하학적인 논리와 빛의 성질을 근거하여 이 설명을 전개하시오.

[해설] 초점 A에서 출발하여 나가는 빛이 쌍곡선 모양의 거울 면에 반사되어 점 D로 향할 때 최단시간이 걸리는 지점에 대해서 반사하여 점 D로 향한다.

그런데 같은 매질에서는 빛의 속력이 일정하므로 최단시간이 걸리는 경로는 최단거리가 소요되는 경로이다.

즉, AC'+C'D가 최단거리가 되는 쌍곡선 위의 점 C'를 다음 관계식을 이용하여 [그림 5]와 같이 점 C임을 확인할 수 있다.

(단，BC'- AC' = k，BC' + C'D ≥ BD )

AC'+ C'D = BC'- k + C'D ≥BD - k

따라서 초점 A에서 점 D를 향하는 빛의 최단시간의 경로는 쌍곡선위의 점 C를 거쳐 가는 것을 확인할 수 있다.

한편 [그림 5]에서 빛의 성질, 즉 입사각과 반사각이 같음을 다음과 같이 확인할 수 있다.

초점 A에서 점 D를 향하는 최단거리가 선분 BD 위에 있으므로 초점 A가 접선에 대해서 대칭하는 점 A'은 선분 BD위에 있다.

[그림 6]과 같이 ∠ACE = ∠A'CE 이고 ∠A'CE = ∠FCD 이므로 입사각과 반사각이 같다.

따라서 쌍곡선의 한 초점 A에서 나오는 빛은 쌍곡선에서 반사되어 [그림 7]과 같이 마치 다른 초점 B에서 나오는 것처럼 보인다.

즉 쌍곡선의 초점이 있는 안쪽 면을 거울로 두고 한 초점의 위치를 광원에 놓으면 거기서 나오는 모든 빛은 쌍곡선 거울에서 반사하여 또 다른 초점에서 나온 빛처럼 퍼져 나간다.

문1. 우리 주위에서 이차곡선의 광학적 성질을 이용한 것들을 조사하고 그 원리를 설명하시오.

[참고자료]

고등학교 물리Ⅰ， 교학사

2008학년도 연세대 2차 자연계 모의논술


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유경호의 자수전 정답 및 해설

문1.

(1) 자동차 헤드라이트

포물선의 초점에 전구를 놓고 포물면 거울을 반사경으로 사용하여 빛을 직진하게 만드는 기구.

(2) 포물선 접시 모양의 송수신 안테나

포물선의 반사성질을 이용하여 전파를 보내고，모으는 기구.

(3) 천문관측용 반사망원경 중 하나인 카세그레인식 망원경(Cassegrain's Telescope)

포물선과 쌍곡선의 반사성질을 이용하여 아래의 그림과 같은 구조로 만들어，거리가 먼 우주의 행성을 관측하는 데 사용하는 기구.