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  • 최준원의 수리 논술 강의노트

    증명논리의 구성…결론을 부정해 모순을 보이다

    결론이 둘 중 오직 하나임을 알고 있을 때, 즉 결론이 A이거나 A가 아니거나 둘 중 하나며 A이면서 A가 아니기도 하는 경우는 존재하지 않음을 알고 있다면, A라는 결론을 부정해 모순을 보임으로써 증명논리의 구조를 완성할 수 있다. A라는 결론을 부정했을 때 모순이 나타난다면 결론은 오직 A일 수밖에 없기 때문이다.이처럼 결론을 부정해 모순을 보이는 ‘귀류법’에 의한 증명이 수리논술에서 출제되는 논증추론 문제에 자주 출제된다.따라서 이 같은 증명논리의 구성을 잘 이해하고 이와 같은 논리에 의해 답안 작성 연습을 꾸준히 해본다면 증명 문제 해결에 많은 도움이 된다. 포인트어떤 임의의 자연수는 짝수이거나 짝수가 아니거나 오직 둘 중 하나다.

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    가천대·한국외대 수리논술, 한 두 문제가 합격 좌우

    가천대, 한국외국어대로 대표되는 약식 수리논술은 기존 전공적성 고사를 약식 논술화한 것으로, 제시문 없이 수능과 비슷한 형식으로 주어지는 문제를 비교적 짧은 시간 안에 풀어야 하는 유형의 시험이다. 대체로 평이한 수준의 문제가 출제되기 때문에 한두 문제 정도가 합격선을 결정하며, 여기에 논술에서 요구하는 답안의 논리성도 평가 대상이 된다. 답안은 두세 줄 이내에서 가장 핵심적인 근거를 간결하게 작성하는 것이 좋다. 이때 주로 사용되는 사잇값 정리, 평균값 정리 등을 늘 사용할 수 있게 익혀두는 것이 필요하며 미분 문제에서는 항상 증감표를 문제 풀이의 근거로서 제시하는 습관을 들여야 한다. 포인트약식 논술에는 중학교의 기본 도형이나 경우의 수 등도 기본적으로 출제 범위에 포함될 수 있다.

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    '확률과 통계' 기초…이산확률변수 기댓값과 분산

    수리논술에서 확률과 통계를 출제하는 많은 대학이 이산확률변수에 대한 문제를 자주 내고 있다. 여러 개념이 혼합되고 공식화되는 과정을 거치면서 변별력도 어느 정도 확보되기 때문에 그만큼 출제 빈도가 높다.이 개념들은 대부분 중학교 때 배운 평균(기댓값)과 분산에서 자연스럽게 확장되기 때문에 통계의 기초 개념을 확실히 다지는 것이 무엇보다 중요하다.기댓값과 분산에서 이항분포까지 연결되는 큰 흐름을 반복해 연습하고 기출 논제를 통해 실전 감각을 길러보자. 포인트분산은 편차제곱의 평균이고 이는 제곱의 평균에서 평균의 제곱을 뺀 값과 같다.

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    문제 풀이의 발상…제시문과 논제에서 힌트를 얻자

    학생들이 수리논술 문제 풀이의 해설을 보거나 해설 강의를 들으면 전체적인 흐름을 이해하고 논제 구조를 파악하는 데 큰 어려움이 없다. 하지만 정작 풀이 과정에서 막히는 부분이 생기는데, 이게 바로 발상의 지점이다. 이 부분에서 문제 해결의 방향을 어떻게 잡느냐에 따라 결론을 도출하는 과정이 자연스럽게 연결될 수도 있고 여전히 출제 의도를 파악하지 못할 수도 있다.문제 풀이의 발상이 막연할수록 변별력과 학생들의 체감 난도가 높아지는데, 출제자는 변별력을 조절하기 위해 반드시 제시문과 논제 속에서 힌트를 얻을 수 있게 하므로 수험생들은 이를 활용해야 좋은 점수를 얻을 수 있다. 예시 논제를 통해 이런 과정을 연습해보자. 포인트제시문 또는 논제 속에 굳이 주지 않아도 될 익숙한 공식이 주어질 때 왜 그 공식이 주어졌을까를 생각해 보는 것이 문제 풀이의 발상이 될 수 있다.

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    평균값정리…복잡한 식을 해결하는 만능도구

    평균값정리는 현재 시행되는 선택형 수능 수학의 공통 출제범위에 해당하는 수학Ⅱ 교과과정에서 배우는 기본 개념 중 하나다. 미분 가능한 함수의 주어진 구간 양 끝점을 지나는 직선의 기울기와 같은 기울기를 갖는 접선이 구간 안에 반드시 존재한다는 내용의 정리로, 증명 과정도 교과서에 상세히 기술돼 있다. 평균값정리는 내용도 중요하지만 무엇보다 이것을 도구로 활용, 해결하기 어려운 복잡한 형태의 식을 단순화해 간단하게 해결할 수 있다는 장점을 가지고 있다. 특히 수리논술에서 일반적인 해결 방법이 떠오르지 않을 때 평균값정리가 문제를 해결하는 데 결정적 역할을 하는 경우가 적지 않으므로 이를 익숙하게 사용할 수 있도록 연습해둘 필요가 있다. 포인트일반적인 증명이 막히면 귀류법을, 복잡한 형태의 식을 만나면 평균값정리를 사용해보자.

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    짝수 반대는 홀수, 그렇다면 남학교 반대말은 여학교?

    정답은 여학교가 아니라 ‘적어도 한 명의 여학생이 다니는 학교’이다. 남학교의 반대말을 명제화해 생각하면 ‘우리 학교에 다니는 학생은 모두 남학생이다’라는 명제에 대한 부정이며 이는 그렇지 않은 경우, 즉 여학생이 적어도 한 명은 존재한다는 뜻이 된다.이처럼 명제의 조건이나 결론을 부정할 때 ‘임의성’과 ‘존재성’의 관계를 잘 파악해야 올바른 증명을 할 수 있게 되며 특히 수리논술에서 자주 출제되는 귀류법에 대한 증명 논제는 이런 관계를 명확히 기술해야 좋은 점수를 받을 수 있다. 예시 논제를 통해 관련된 증명 구조를 파악해보자. 포인트수리논술에서 주로 출제되는 증명 방법에는 직접증명과 간접증명 그리고 수학적 귀납법이 있으며 귀류법은 이 중 간접증명에 해당한다. 

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    경우의 수를 세다 - 조합과 순열의 이해

    수리논술에서 ‘확률과 통계’를 출제하는 대학은 20여 곳으로 논술고사를 시행하는 전체 대학의 과반수를 차지한다. 특히 중앙대는 출제범위에 ‘확률과 통계’가 빠져 있지만 문제 1번에서 고1 과정의 ‘경우의 수 - 순열/조합’ 문제를 항상 내며, 미적분 위주로 출제하는 다른 대학에서도 ‘순열/조합’ 문제는 공통범위로 언제든 나올 수 있다. 다만 ‘확률과 통계’ 문항은 출제되더라도 변별력 위주로 나오는 ‘미적분’에 비해 기초적인 개념을 확인하기 위한 문항이 주로 출제되므로 너무 부담을 가질 필요는 없다. 실제 문제를 풀어가는 과정에서도 세부적인 공식에 너무 매이지 말고 주어진 상황에 맞춰 경우의 수를 찬찬히 세어가는 것이 오히려 점수를 확실히 받을 수 있는 지름길임을 명심하자. 포인트공식에만 의존하면 조합으로 나온 문제에서 순열 공식을 이용해 풀이하는 실수를 할 수 있으므로 주의해야 한다.

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    수식 기호의 정확한 사용은 합격답안의 첫 단추

    논술 답안과 관련해 특히 변별이 높게 작용하는 수식 기호 중에는 시그마와 조합 기호가 있다. 이들 수식 기호를 정확하게 사용하는 것은 수학 역량을 높이는 것뿐만 아니라 수리논술 전형에서도 당락을 결정짓는 중요한 요소 중 하나다. 문제를 올바르게 이해했더라도 핵심적인 수식 기호를 다룰 때 실수를 반복하거나 수식 기호의 활용을 제대로 하지 못하면 감점 누적으로 이어지므로 주의해야 한다. 포인트특히 수열과 조합은 수식 기호를 매개로 해 개념이 연결되므로 이들 기호의 활용을 잘 익혀두자.