#수리논술 강의노트
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최준원의 수리 논술 강의노트'미분 가능성'과 '연속성'의 논리 관계
수리논술에서 출제되는 가장 기본적인 증명 문제라고 할 수 있는 ‘미분 가능성’을 묻는 경우 많은 학생이 거의 예외 없이 ‘연속성’을 판단하는 과정, 즉 ‘우극한=좌극한=함숫값’을 먼저 설명한 뒤에 다시 미분계수를 조사하는 순서로 답안을 작성한다. 이는 미분 가능성과 연속에 대한 논리 관계를 잘못 이해했기 때문이다. 미분 가능성이 연속성을 전제로 하는 건 맞지만 미분 가능성을 판단하기 위해 반드시 연속성을 확인해야 하는 건 아니다. 연속이지만 미분 가능하지 않은 반례가 있기 때문이다. 예시 논제를 통해서 이들 간 논리관계를 올바르게 이해해 보자. 포인트※미분 가능성은 연속성을 전제로 한다. (O) ※연속은 미분 가능하기 위한 필요조건이다. (O) ※미분 가능성을 조사하려면 연속성을 먼저 조사해야 한다. (×) ∵ 연속이지만 미분 가능하지 않은 반례가 존재한다.
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최준원의 수리 논술 강의노트합성함수의 미분법에서 ∆u=0일 때는?
미적분 과목의 미분법 단원을 이수한 이과생이라면 합성함수의 미분법 공식, 즉 두 함수 y=f(u), u=g(x)가 미분가능할 때 합성함수 y=f(g(x))의 도함수가 y′=f(g(x))}′=f′(g(x))g′(x)로 주어짐을 잘 알고 있을 것이다. 그런데, 이 공식은 y/x=(y/u)×(u/x)와 같이 평균변화율의 변형으로 얻어지며 분모가 0이 아닐 때, 즉 u≠0 일 때 유도되는 공식이다. 그러나 결과적으로 u=0 일 때에도 공식이 성립함을 이해하고 사용할 수 있어야 한다. 다만 교과과정을 넘어서는 엄밀한 방법의 증명까지는 요구되지 않으며, u=0 일 때에도 ‘형식적으로’ 공식이 성립함을 이해하는 것으로 충분하므로 본문의 증명 과정을 잘 이해하고 공식을 사용할 수 있도록 하자. 포인트논술답안 작성시 미분의 개념과 도함수의 표현을 정확하게 사용할 수 있도록 주의하자. ※ 미분은 ‘기울기의 극한’이다. ※ ‘기울기의 극한’ = ‘접선의 기울기’ ※ 미분계수(도함수) = 순간변화율 = (순간)변화율 = 증가율 = 기울기의 극한 = 접선의 기울기 = dy/dx
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최준원의 수리 논술 강의노트1+(-1)+1+(-1)+ … 의 값은 0.5일까?
만일 누군가 위의 급수에 대해 ‘짝수 항까지만 더하면 1-1+1-1+ … +1-1=0이고, 홀수 항까지만 더하면 1-1+1-1+ … +1=1이므로 이 급수의 값은 두 합의 평균인 0.5다’라고 주장한다면 어떨까? 이렇게 무한과 관련해 오개념이나 혼란을 경험하게 되는 이유는, 유한에서 성립하는 연산법칙(결합법칙)을 무한에 적용했기 때문이다. 실제로 극한의 개념이 정립되기 전에는 수학자들 사이에서도 이렇게 급수의 수렴, 발산과 관련해 논란이 있었음을 알 수 있다. 수리논술에서도 급수의 수렴 판단에 대한 논리적 추론 문제가 자주 출제되므로 미적분에서 배운 급수의 개념을 올바르게 적용해 문제를 해결하자. 포인트급수에서 덧셈기호 + 는 형식적인 기호임을 유의한다. 즉, 유한개의 합에서 성립하는 연산법칙을 적용할 수 없다. 예를 들어, S=1+(-1)+1+(-1)+1+(-1)+ … -S=(-1)+1+(-1)+1+(-1)+ … 두 식을 빼면 2S=1이므로 S=0.5 또는 결합법칙을 적용하면 1+(-1)}+1+(-1)}+1+(-1)}+ … =0 1+1+(-1)}+1+(-1)}+1+(-1)}+ … =1 이처럼 모순적인 결과를 얻은 이유는 유한에서 성립하는 성질을 무한에서 무리하게 사용했기 때문이다.
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최준원의 수리 논술 강의노트'수열의 극한'에 자주 쓰이는 유용한 공리들
수열의 극한은 미적분의 첫 단원이면서 수리논술의 논증 추론에 자주 출제되는 내용이다. 교과서에 언급된 사칙연산 및 부등식에 관한 기본 성질(분배 법칙과 샌드위치 법칙)이 주로 수열의 극한과 관련된 논제의 증명 근거로 활용되며, 여기에 몇 가지 기본 공리가 추가돼 같이 사용된다. 특히 추가로 사용되는 공리들은 자명하면서도 증명의 결정적 근거로 자주 쓰이므로 그 활용도가 매우 높다.다음의 예시 논제를 통해 이들 기본 공리가 실제 증명에서 어떻게 쓰이는지 익혀보자.포인트수열의 극한에 자주 사용되는 공리들 ① An → α, Bn → ∞일 때 α ＞ 0이면 (An·Bn) → ∞ α ＜ 0이면 (An·Bn) → -∞ ② An ＞ Bn일 때, Bn → ∞이면 An → ∞ ③ An ＞ 0일 때, 1/An → ∞ ⇔ An → 0
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최준원의 수리 논술 강의노트수식에 숨어 있는 의도를 파악하려면?
수식 또는 식의 계산이 비교적 쉬운 문제는 기본 개념과 계산 능력을 간단하게 확인하려는 것이므로 어렵지 않게 해결할 수 있다. 그러나 수식이 복잡하거나 문제의 조건이 늘어날수록 문제를 해결하기가 어려워진다. 이때 수식 자체에만 집중하다 보면 출제 의도를 놓치기 쉬우므로 수식에 들어 있는 출제 의도를 파악하려는 것이 문제 해결에 도움 된다. 이 경우 수식이 가진 의미 단위로 문제를 재구성하거나 문제의 조건 중 놓친 부분이 없는지 다시 점검해볼 필요가 있다. 예시 논제를 통해 문제의 해결 과정을 따라가고 이를 다른 문제에도 적용해보자.포인트A=-B면 A=0이거나 A와 B의 절댓값이 같고 부호가 반대여야 한다.
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최준원의 수리 논술 강의노트모든 자연수 빠짐없이 세는 방법…수학적 귀납법의 원리
예를 들어 모든 자연수 n에 대해 1+3+5+ … +(2n-1)=n²이 성립함을 증명해보자(단, 수열의 합의 공식은 쓰지 않기로 하자). 1=1², 1+3=2², 1+3+5=3², … 이므로 주어진 식이 성립함을 직관적으로 쉽게 알 수 있다. 그러나 모든 자연수 n에 대해서도 성립함을 보이려면 이렇게 하나씩 나열해 보여주는 방식으로는 한계에 부딪힐 수밖에 없다. 이때 이것을 한번에 해결할 수 있는 증명 방법이 수학적 귀납법이다.수리논술에서 매년 빠짐없이 출제되는 중요한 내용이므로 이론만 외우기보다 수학적 귀납법이 사용되는 목적과 원리를 이해하면 보다 확실하게 내용을 정리할 수 있을 것이다.포인트자연수 n에 대한 명제 p(n)가 모든 자연수 n에 대하여 성립함을 증명하려면 다음 두 가지를 보이면 된다.(ⅰ) n=1일 때 명제 p(n)가 성립한다.(ⅱ) n=k일 때 명제 p(n)가 성립한다고 가정하면 n=k+1일 때도 명제 p(n)이 성립한다.
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최준원의 수리 논술 강의노트원과 접선은 왜 서로 수직일까?
정답은 매우 간단하다. ‘수직이 아니면 안 되기 때문’이다. 좀 더 부연해서 설명하면, 이미 ‘원’과 ‘접선’이라는 용어의 개념과 정의에 문제의 정답이 들어 있기 때문이다. 따라서 결론을 부정하면 해당 개념과 정의에 근본적으로 위배됨을 보이면 된다. 이와 같이 직관적으로 익숙하면서 당연한 것처럼 보이는 명제를 증명할 때 결론을 부정해 모순을 이끌어내는 ‘귀류법’에 의한 증명으로 접근하면 해결되는 경우가 많다. 귀류법에 의한 증명은 결국 해당 명제에 들어 있는 용어의 개념과 정의를 알고 있는지를 묻는 문제로 귀결됨을 이해하자.포인트수선의 발이 아니면 길이가 같은 또 다른 대칭점이 반드시 존재한다.
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최준원의 수리 논술 강의노트a를 세 번 곱하면 a³ , 그렇다면 a를 ⅓번 곱하면?
현재 수리논술의 출제 원칙은 ‘교과 과정에 충실하기’라고 볼 수 있다. 즉, 수능과 논술에서 똑같은 내용의 문제가 나올 수 있다는 것이다. 다만 수능에서는 시험의 형식상 결과만을 물어볼 수밖에 없는데, 논술에서는 같은 내용의 문제라도 그 과정을 얼마나 논리정연하게 기술할 수 있는지를 평가한다. 따라서 수리논술을 준비하는 학생들은 교과서에 있는 공식의 유도 과정 및 주요 정리의 증명 등을 철저히 학습할 필요가 있다. 이 시간에는 먼저 수Ⅰ 과정의 첫 단원인 지수와 관련된 내용을 정리하고 관련 논술 기출 문항을 분석해보자. 포인트지수법칙은 합과 곱의 법칙을 만족하면서 지수가 확장되는 과정이다.