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대입전략

올해 '확통'으로 갈아타는 학생 크게 늘어날 듯

미적분 선택자가 확통 풀 때, 몇 점 상승하는지 확인해야확통 갈아타 표준점수 상승하는지 6월 모평 결과로 비교2027학년도 수능 원서접수는 오는 8월 24일부터 9월 4일까지 진행한다. 수학에서는 확률과통계, 미적분, 기하 등 선택과목 응시 추세가 지난해보다 크게 달라지고 있어 원서 접수 직전까지 주목할 필요가 있다.2027학년도 6월 평가원 모의고사에서 확률과통계 응시자는 수학 전체 과목 가운데 65.2%를 차지했다. 이는 2022학년도 통합수능이 도입된 이래 가장 높은 수치이다. 2022학년도가 55.4%, 2023학년도 51.4%, 2024학년도 47.8%, 2025학년도 48.3%, 2026학년도 56.4%에 이어 금년도 6월 모평에서 65.2%까지 치솟은 것이다. 지난해 6월 모평 56.4%에서 9월 56.0%로 다소 낮아졌다가 본수능에선 56.1%로 최종 집계됐다.2026학년도부터 확률과통계 응시생이 크게 증가한 것은 미적분 선택 학생들이 시험 부담이 상대적으로 적은 확률과통계로 갈아타는 사례가 많아졌기 때문이다. 주요대 자연계 학과가 수시 수능최저과목으로 확률과통계를 인정해 주고 있고, 정시에서도 확률과통계 과목을 자연계 학과들이 받아주는 영향이 컸다. 이에 따라 2027학년도 자연계 수험생들 가운데 6월 모평까지 미적분에서 목표한 수학 점수가 나오지 않은 학생들이 상당수 확률과통계로 수학 과목을 변경하는 경우가 지난해보다 늘어날 수 있다.미적분을 선택한 학생이 확률과통계 문제를 풀 때 과연 ‘몇 점까지 상승할 수 있느냐’가 과목 변경의 핵심 요소일 것이다. 6월 모평에서 미적분 원점수 기준으로 60점을 받은 학생의 표준점수는 108점이었다. 만약이 학생이 확률과통계로 갈아타서 65점을 받을 경우, 확률과 통계 표준점수는 110점

최준원의 수리 논술 강의노트

미분공식 다 외웠는데 왜 감점이지? 수리논술 채점관이 노리는 함정 [논술길잡이]

미적분에서 가장 중요하게 학습해야 할 내용 중 하나는 합성함수, 음함수, 역함수 등 여러ㅠ가지 미분법을 유도하고 그 결과를 공식화해서 익히는 것이다. 이 과정에서 핵심 포인트는 함수의 연속성, 즉 ∆x→0일 때 ∆y→0을 전제로 하여 결론이 유도됨을 명확히 표현하는 것이다. 수리논술 답안을 작성할 때 이 부분을 확실하게 짚어주는지에 따라 채점 과정에서 점수의 차이가 발생하게 되고, 이로 인해 당락이 결정될 수도 있음을 유념해야 한다. 본문의 기초 논제를 직접 풀어 답안을 작성해보고 예시 답안과 비교해 위에서 언급한 핵심 포인트가 잘 기술됐는지를 확인해 여러 가지 미분법의 유도 과정을 본인의 것으로 확실하게 익혀보자. ▶여러 가지 미분법의 학습포인트 ◀ 1. 연속의 결론은 ∆x→0일 때 ∆y→0을 의미!- 연속 : 극한값 = 함숫값 ⇔ ∆x→0, ∆y→02. 합성함수의 미분법에서 유도과정의 핵심은 연속성!- 미분가능 조건에서 연속성을 확인하고 연속성을 전제로 유도과 됨을 명확히 표현해야 함.3. 매개변수로 나타낸 함수의 미분법과 역함수의 미분법- 두 함수의 미분법 모두 역함수의 연속성을 전제로 하여 유도됨을 명확히 표현할 것.

최준원의 수리 논술 강의노트

'알려진 것' '증명 필요한 것' 나눠 학습해야

수학Ⅱ에서 다항함수의 미분을 학습했다면 미적분에서는 지수·로그함수와 삼각함수의 미분을 중점적으로 배운다. 특히 수리논술에서 지수·로그함수와 삼각함수의 미분에 대한 내용이 자주 출제되므로 기초를 탄탄히 익혀둘 필요가 있다. 이때 교과서에서 “그래프에서와 같이 … (임)을 알 수 있다” 또는 “… (임)이 알려져 있다”라고 표현한 부분과 교과서에 해당 내용의 증명이나 유도 과정이 소개된 부분을 확실하게 구분해 학습해야 한다. 수리논술 답안을 작성할 때 ‘알려져 있다’고 언급된 내용을 불필요하게 또는 부정확하게 증명하거나, 반대로 확실하게 증명해야 할 내용을 증명이나 유도 과정 없이 두루뭉술하게 넘어갈 경우 크게 감점받을 수 있기 때문이다. 오른쪽 학습 포인트와 아래 본문을 통해 관련 내용을 구체적으로 학습해보자. ▶여러 가지 함수(지수로그/삼각함수)의 미분 학습포인트◀1. 알려져 있는 내용 (논술 답안 작성시 증명할 필요 없는 내용)- 지수로그함수의 x→∞일때의 극한 : 그래프로부터 극한의 결과만을 받아들이면 됨.- 무리수 e의 극한 정의 : e=2.718281… 의 일정한 극한값을 갖는다고 받아들이면 됨.2. 반드시 증명할 수 있어야 하는 내용- 삼각함수의 극한 : 도형의 넓이 비교로부터 샌드위치 정리를 이용하여 증명- 지수함수/로그함수의 미분 : 무리수 e의 정의를 사용하여 증명- 삼각함수의 덧셈정리 : 코사인법칙으로부터 유도- 배각공식 : 삼각함수의 덧셈정리로부터 유도※ 반각공식 : 교과서에서 빠져 있으나 배각공식으로부터 유도할 수 있음.※ 합성 : 교과서에서 빠져 있으나 삼각함수의 덧셈정리로부터 유도

최준원의 수리 논술 강의노트

급수의 수렴·발산…직접 판단 막히면 대우명제 활용

미적분 과목의 첫 번째 대단원은 ‘수열의 극한과 급수’이며, 궁극적으로 급수의 수렴과 발산을 다루는 것을 목표로 하고 있다. 미적분의 첫 단원으로서 단독으로 출제되기도 하지만, 미적분의 다른 단원과 연계해 복합적으로 출제되기도 한다. 기본적으로는 값을 구하는 계산 유형이 주를 이루지만, 급수의 수렴과 발산에 대한 참·거짓을 판단하는 유형이 다뤄지기도 한다. 이 경우 올바른 답안을 작성하기 위해 명제에 대한 증명을 직접 유도하거나 반례(대우명제)를 들어 반증하는 훈련을 해봐야 한다. 아래 본문의 예시 문항과 오른쪽 학습 포인트를 참고해 미적분 첫 단원인 수열의 극한과 급수에 관한 수리논술의 기초를 확실하게 다질 수 있도록 연습해보자.▶수열의 극한과 급수의 출제유형에 따른 대비전략◀1. 수열의 극한의 기본성질을 잘 이해할 것.- 기본성질 자체보다는 반례가 중요함.- 수열의 극한 수식이 지나치게 복잡하면 샌드위치 정리 문제임 (중요).2. 수열의 수렴조건과 급수의 수렴조건을 구별할 것.- 급수가 수렴하면 수열은 0으로 수렴 (이외의 경우는 반례가 모두 존재).- 반례의 경우는 진동발산을 우선 생각할 것.- 참·거짓에 대한 직접판단이 애매하면 대우명제를 생각할 것.- 등비급수 문제는 공식에 의해 계산할 것.

대입전략

39개 의대 중 수시 11곳, 정시 15곳 사탐 허용…국어는 언매, 수학은 미적분·기하 선택 '압도적'

통합수능 마지막 해인 올해 사탐런은 더 심화할 것이란 전망이 우세하다. 자연계 최상위 학과인 의대도 탐구에선 사회, 수학은 확률과통계를 인정해주는 곳이 많다. ‘확률과통계+사회탐구’ 조합으로 의대를 준비하는 것이 불가능한 것은 아니다. 하지만 1점 차이로 대학 수준이 달라질 정도로 최상위권이 격돌하는 곳이기 때문에 과탐 가산점을 극복하는 것이 쉽지 않은 것도 사실이다. 국어, 수학에서 선택과목 유불리, 과탐 가산점 등을 극복할 수 있는지를 꼼꼼하게 따져봐야 한다. 2027학년도 의대 사탐런 전망 및 의대 지원자 특징을 분석해본다.2027학년도 전국 39개 의대의 자연계 선발 기준 및 선발 방법을 분석해본 결과, 수시에서 수능최저학력기준 충족 조건으로 사탐을 인정해주는 곳은 11개 대학인 것으로 확인된다. 서울권에선 고려대·한양대·경희대·이화여대·중앙대가 수시 수능최저로 사탐을 허용하고 있고, 경인권에선 성균관대·아주대, 지방권에선 부산대·경북대·순천향대·동아대 등이 사탐으로 수시 수능최저를 맞출 수 있다.수학 확률과통계를 수시 수능최저로 인정해주는 곳은 21개 대학에 달한다. 서울권에선 가톨릭대·고려대·한양대·경희대·중앙대·이화여대 등 6개 대학이, 경인권에선 성균관대·아주대·인하대 등 3곳이 해당한다. 지방권에선 부산대, 경북대, 강원대, 원광대, 순천향대 등 12곳에 이른다.이처럼 의대도 수시 수능최저 조건으로 수학 확률과통계와 사탐을 인정해주는 곳이 많다. 학생부 경쟁력만 충분하다면 ‘확률과통계+사탐’ 조합의 순수 문과생도 의대에 도전할 수 있다는 것이

학습 길잡이 기타

뉴턴의 미적분 아이디어, 라이프니츠가 확산시켰죠

어려운 수학의 대명사로 미적분을 많이 언급하고는 합니다. 오늘은 그 이야기보다 미분과 적분을 둘러싼 흥미로운 내용을 소개하겠습니다.미분과 적분은 어떤 사람이 만든 걸까요? 아니, 누가 먼저 생각했을까요? 한 번쯤 궁금해했을지도 모르겠네요. 그런데 놀랍게도, 이 질문엔 아직도 완전히 속 시원한 답을 찾지 못했습니다. 미적분은 17세기 후반, 영국과 독일에서 서로 다른 방식으로 ‘거의 동시에’ 등장했기 때문이죠. 그리고 이를 둘러싼 두 수학자 뉴턴과 라이프니츠의 이야기는 수학사에서 매우 흥미로운 에피소드 중 하나로 꼽힙니다.17세기 과학자들은 더 이상 단순한 기하학으로는 설명할 수 없는 문제들에 직면하게 됩니다. 여기서 말하는 ‘단순한 기하학’이란 직선, 원, 삼각형과 같은 도형의 성질을 다루는 고전적 기하학을 말합니다. 이러한 기하학은 정적인 구조나 형태에는 탁월했지만, 시간에 따라 끊임없이 변하는 운동이나 변화량을 다루기에는 한계가 있었죠. 예를 들어 행성은 어떻게 움직일까? 물체가 가속하면 그 순간의 속도는 어떻게 계산할까? 곡선의 접선은 어디서부터 어떻게 그려야 할까? 이러한 질문들에는 새로운 접근이 필요했습니다.이런 질문들에 답하기 위해 아주 작은 변화량을 다루는 새로운 수학이 등장했습니다. 바로 이것이 오늘날 우리가 ‘미적분’이라고 부르는 수학입니다. 미적분은 물체가 움직일 때 그 순간의 속도를 구하거나, 곡선 아래의 넓이를 계산하거나, 어떤 양이 점점 변할 때 그 전체적인 변화를 추적하는 데 쓰는 도구입니다. 정지해 있는 도형을 다루는 기하학과 달리, 미적분은 시간이나 위치에 따라 끊임없이 변하는 현상

최준원의 수리 논술 강의노트

도형 활용 미적분 자주 출제돼…증명 연습도 필요

이들 대학은 모두 미적분 중심의 문항을 출제하며 시험시간과 문항 수, 출제 유형 및 난이도에서도 매우 유사하다는 공통점이 있다. 특히 기본 도형에 기초한 미적분 문항이 주로 출제되므로 도형을 활용해 미적분 문제 해결력을 높이는 것이 합격의 관건이라고 할 수 있다. 또 수학적귀납법이나 사잇값 정리에 대한 간단한 형태의 증명 문제도 간헐적으로 출제되므로 교과서의 증명 예제를 여러 번 반복해서 확실하게 익혀두어야 한다. ◆ 숙명·성신·동덕여대◆ 수리논술 대비 포인트 1. 기본도형에 기반한 미적분 문제해결력을 요구하는 문항이 주로 출제됨.- 수열, 삼각함수의 공식 등을 자주 활용하므로 이를 숙지해야 함.2. 수학적귀납법, 사이값정리에 대한 간단한 증명 문제가 출제되므로 교과서의 증명 예제를 확실하게 익혀두어야 함.

학습 길잡이 기타

상황 변화를 직관적으로 전달하죠

수학에서 그래프를 그리는 것과 그려진 그래프를 이해하는 것은 둘 다 매우 중요합니다. 두 과정은 마치 그리는 사람과 이해하는 사람 사이에서 이루어지는 의사소통과 같다고 할 수 있습니다. 그래프는 수학적 개념이나 상황을 시각적으로 표현한 것이므로, 상황을 빠르고 정확하게 공유하는 데 아주 유용한 도구가 됩니다.예를 들어, 큰 그릇에 물을 담는 상황을 생각해보겠습니다. 일정한 속도로 물을 담다가 중간에 더 빠른 속도로 물을 붓는다면, 이 변화 과정을 그래프로 나타낼 수 있습니다.그런데 여기서 어떤 것을 중점으로 두고 표현하느냐에 따라 그래프의 모습이 달라질 수 있습니다. 일반적으로는 시간의 흐름에 따라 물이 차오르는 높이의 변화에 초점을 맞출 겁니다. 그렇게 되면 처음에는 우상향하는 직선의 모습으로 그려지다가 어느 순간 기울기가 큰 직선 모양으로 바뀌겠죠.하지만 조금 특이한 경우에는 물의 높이보다 그 순간에 쏟아지는 물의 양을 기준으로 할 수도 있습니다. 이 경우 그래프는 어떻게 될까요? 앞서 말했듯 일정한 속도로 물을 담는다는 것은 순간에 쏟아지는 물의 양이 일정하다는 의미이므로, 그래프는 처음 어느 정도까지는 위로도 아래로도 움직이지 않고 평평한 모양으로 그려질 겁니다. 그러다 어느 순간 더 빠른 속도로 물을 부을 때 순간적으로 그래프는 더 위로 올라간 뒤 역시 그 지점에서 평평한 모양이 지속될 것이라고 생각할 수 있겠죠.이를 굳이 말로 설명하지 않고 그래프로 하면 어떤 차이가 있을까요? 그래프를 그리는 사람과 보는 사람이 그래프에 대한 이해가 충분하다면 처음에 말한 대로 상황을 빠르면서도 정확하게 전달할 수 있습니다. 글로 표현