생글생글

학습 길잡이 기타

상황 변화를 직관적으로 전달하죠

수학에서 그래프를 그리는 것과 그려진 그래프를 이해하는 것은 둘 다 매우 중요합니다. 두 과정은 마치 그리는 사람과 이해하는 사람 사이에서 이루어지는 의사소통과 같다고 할 수 있습니다. 그래프는 수학적 개념이나 상황을 시각적으로 표현한 것이므로, 상황을 빠르고 정확하게 공유하는 데 아주 유용한 도구가 됩니다.예를 들어, 큰 그릇에 물을 담는 상황을 생각해보겠습니다. 일정한 속도로 물을 담다가 중간에 더 빠른 속도로 물을 붓는다면, 이 변화 과정을 그래프로 나타낼 수 있습니다.그런데 여기서 어떤 것을 중점으로 두고 표현하느냐에 따라 그래프의 모습이 달라질 수 있습니다. 일반적으로는 시간의 흐름에 따라 물이 차오르는 높이의 변화에 초점을 맞출 겁니다. 그렇게 되면 처음에는 우상향하는 직선의 모습으로 그려지다가 어느 순간 기울기가 큰 직선 모양으로 바뀌겠죠.하지만 조금 특이한 경우에는 물의 높이보다 그 순간에 쏟아지는 물의 양을 기준으로 할 수도 있습니다. 이 경우 그래프는 어떻게 될까요? 앞서 말했듯 일정한 속도로 물을 담는다는 것은 순간에 쏟아지는 물의 양이 일정하다는 의미이므로, 그래프는 처음 어느 정도까지는 위로도 아래로도 움직이지 않고 평평한 모양으로 그려질 겁니다. 그러다 어느 순간 더 빠른 속도로 물을 부을 때 순간적으로 그래프는 더 위로 올라간 뒤 역시 그 지점에서 평평한 모양이 지속될 것이라고 생각할 수 있겠죠.이를 굳이 말로 설명하지 않고 그래프로 하면 어떤 차이가 있을까요? 그래프를 그리는 사람과 보는 사람이 그래프에 대한 이해가 충분하다면 처음에 말한 대로 상황을 빠르면서도 정확하게 전달할 수 있습니다. 글로 표현

최준원의 수리 논술 강의노트

여러 가지 미분법의 계산력 요구되는 '변화율' 문제

변화율은 미적분에서 개념 이해도와 함께 응용력 및 문제해결력을 동시에 평가할 수 있는 좋은 주제다. 주로 실생활에서 쉽게 접할 수 있는 상황에서 문제를 해결하기 위한 과정으로 변화율에 대한 소재를 다루기도 한다. 또한 문제 해결을 위해 변화율을 계산하는 과정에서 합성함수의 미분법이나 역함수의 미분법을 적용하는 경우가 많아 미적분 전반에 대한 이해도와 계산 집중력이 고르게 요구된다.따라서 변화율과 관련된 문제를 해결하기 위해서는 미분계수와 도함수에 대한 정확한 개념 이해도를 바탕으로 여러 가지 미분법에 대한 풀이 연습을 꾸준히 해봐야 한다.▶변화율 문항 출제 포인트 및 대비전략◀1. ‘변화율’은 미분계수 및 도함수의 다른 표현임을 이해한다.2. 실생활에서 주어지는 다양한 상황 속에서 변화율을 미분 개념과 관련하여 이해한다.3. 변화율을 정확하게 계산하기 위해 합성함수의 미분법 등 여러 가지 미분법에 대한 풀이 과정을 꾸준히 연습한다.

최준원의 수리 논술 강의노트

단골 주제 '속도와 거리'…올해도 출제 가능성

미적분 개념을 적용해 주로 출제되는 문항 주제로는 넓이와 부피, 속도와 거리 등이 있다. 이 중 속도와 거리에 대한 문항은 문제해결력을 평가할 수 있는 좋은 주제이며, 변별력도 상대적으로 높아 올해도 출제 가능성이 높다고 할 수 있다.속도와 거리에 대한 문항을 잘 해결하려면 우선 수직선과 평면에서의 운동을 명확하게 구분해 이해해야 하며, 특히 위치의 변화량과 움직인 거리에 대한 개념도 잘 파악해야 한다. 또 속도와 가속도를 벡터로도 표현해 접선의 기울기와 연관 지어 이해할 수 있어야 한다. 속도와 거리 문항 출제 포인트 및 대비전략1. 수직선와 평면에서의 운동을 구분하여 문제를 파악할 것.2. 위치와 속도, 위치의 변화량, 평면에서 움직인 거리 등의 개념을 명확히 이해할 것.3. 미적분의 속도와 가속도에 대한 수식을 벡터로 표현하여 이해할 것.

생글기자

미·적분 알면 인공지능 이해도 높아져

수학적인 관점에서만 미·적분을 공부하다보면 미적분이라는 단어가 굉장히 어렵게 느껴진다. 그런데 이 개념이 실생활과 많이 맞닿아 있다는 점을 알게 되면 흥미가 생길 수 있다. 인공지능(AI) 분야에도 미·적분이 활용된다는 사실에 주목할 필요가 있다.인공지능과 미·적분이 만나는 지점은 바로 인공지능을 학습시키는 최적의 방법, 경사하강법에 있다. 경사 하강법은 1차 근삿값 발견용 최적화 알고리즘이다. 즉, 함수의 값이 낮아지는 방향으로 각 독립변수들의 값을 변화시키면서 함수가 최솟값을 갖도록 하는 독립변수의 값을 구하는 것이다. 비유를 통해 설명하면 이해가 쉽다. 목적지가 산 밑이라고 치자. 현재 위치에서 계속해서 가장 낮은 지점을 찾아 이동하다보면 밑으로 내려갈 수 있다. 이 경사하강법을 활용해 예측함수와 실측 데이터의 오차를 최소화할 수 있다.그렇다면 이 경사하강법이 인공지능 분야에서 어떻게 활용될까? 인공지능의 인공 신경망은 지식을 학습시켜줘야 더 많은 지식을 스스로 구동할 수 있는 특징을 지니고 있다. 지식을 단순히 넣는 것이 아니다. 전제와 정답을 제시하고, 그 전제와 정답을 매개하는 점을 스스로 찾게 해야 한다. 인공지능은 이에 대해 대입하는 방식으로만 접근하는데, 이때 경사하강법을 적용하면 보다 효과적인 인공지능 학습이 가능하게 된다.인공지능의 위력에 대한 관심이 뜨겁다. 대기업이라면 이미 인공지능 알고리즘을 활용하고 있으며, 인공지능의 윤리적 활용 등에 대한 논의도 활발하다. 그 시작이 미·적분이라는 사실을 알게 되면 인공지능을 새롭게 바라보고 관심을 가질 수 있을 것 같다.김진영 생글기자(상산고

학습 길잡이 기타

지수가 로그, 미적분 개념으로 확장

이정현 푸른숲발도르프학교 교사

진학 길잡이 기타

삼각함수의 적분

삼각함수 중에서도 코시컨트함수와 시컨트함수의 적분법은 치환적분법을 이용해 유리함수의 적분으로 이어지게 된다. 다른 유형에 비해 여러 단계의 계산 과정을 거쳐야 하기 때문에 변별력이 다소 높은 편이다. 해당 유형의 특성상 수험생들은 지면 해설을 참고해 전체의 풀이 과정이 익숙해질 때까지 단계별로 계산 과정을 반복해서 연습하는 것이 필요하다. ☞ 포인트미적분에서 적분 파트는 대학수학능력시험이나 수리논술에서 변별력이 높은 문항들이 집중적으로 출제되는 영역이다. 왜냐하면 미적분 과정에서 가장 마지막에 해당 진도를 마치게 되어서 아직 유형을 체계적으로 정리할 시간이 부족하고, 내용면에도 앞에서 배운 개념들이 복합적으로 활용되기 때문이다. 따라서 수리논술을 준비하는 수험생들은 특히 미적분의 후반부 과정을 남은 기간 동안 집중적으로 정리하고 반복해서 연습해봐야 한다.

진학 길잡이 기타

극한 증명문제의 수렴조건

연속 조건이나 미분가능 조건도 넓게는 수렴성의 조건에 포함되므로 미분 증명 문제도 극한 증명문제에 해당된다. 극한 증명문제가 출제됐을 때 제일 먼저 해야 할 것은 수렴조건이 주어졌는지를 확인하는 것이며, 이후 답안 작성 과정에서 주어진 수렴 조건을 필요한 시점에 정확하게 적용할 수 있도록 해야 한다. ☞ 포인트유튜브에 2=4임을 증명하는 흥미로운 내용의 영상이 소개된 적이 있다. 해당 영상의 내용은 ‘x의 x제곱의 x제곱의 x제곱…’과 같이 x의 거듭제곱을 무한히 시행한 것을 a라고 두면 a=2=4일 때 등식이 모두 성립하게 되어 2=4라는 결론을 내릴 수 있음을 보여주는 과정으로 되어 있다(본문 참조). 이 증명 과정의 근본적인 오류는 무한히 발산하는 식을 하나의 실수 a라고 단정한 것에서부터 시작된다. 이렇듯 논리적인 증명 과정에 있어서 출발점에 해당되는 근거나 조건을 명확히 하지 않으면 오류가 발생할 수 있다. 수리논술 답안을 작성할 때 문제에 주어진 조건이나 증명하려는 명제의 대전제를 명확히 한 상태에서 답안 작성을 시작하는 것이 매우 중요하다.

진학 길잡이 기타

6월 모평 원점수 기준 서울대 경영 합격선 290점, 의예과 293점 예상

입시 전략의 측면에서 6월 모의평가는 중요한 전환점이다. 6월 모평 성적을 토대로 정시에서 지원 가능한 대학의 수준을 가늠한 뒤 수시모집에서 한 단계 높여 목표할 대학, 학과를 구체화해야 한다. 현재 시점에서 6월 모평과 관련해 수험생이 알고 있는 정보는 본인의 원점수뿐이다. 원점수를 토대로 주요 대학 정시 지원 가능 점수에 대해 분석해본다. 현재 분석은 가채점 기준이다. 6월 30일(수) 모평 성적표가 발표되면 실채점 기준으로 정시 지원 가능 점수를 더 정확하게 확인할 수 있다. 원점수 기준 SKY 인문은 290~265점, 자연은 293~263점 추정종로학원 분석 결과, 2022학년도 6월 모의평가 원점수(국수탐(2) 300점 만점) 기준으로 SKY(서울·연세·고려대)권 인문계열 학과 정시 지원 가능 점수(예상합격선)는 최고 290점에서 최저 265점으로 예상된다. 자연계열은 최고 293점에서 최저 263점의 분포를 보일 것으로 전망된다. 대학별로 살펴보면, 서울대 인문 정시 지원 가능 점수는 290점(경영대학, 경제학부)에서 284점(윤리교육과 등)으로 분석된다. 서울대 자연계열은 293점(의예과)에서 266점(산림과학부 등)으로 추정된다. 연세대 인문은 284점(경영학과, 경제학부)에서 265점(신학과 등), 자연은 293점(의예과)에서 263점(의류환경학과 등)의 분포를 보일 것으로 예상된다. 고려대 인문은 284점(경영대학, 경제학과)에서 265점(한문학과 등)으로 예상되며, 자연은 292점(의과대학)에서 263점(지구환경과학과 등)으로 추정된다.성균관대 인문은 273~252점, 자연은 292~259점으로 예상된다. 서강대 인문은 271~263점, 자연은 263~261점 사이에서 지원이 가능할 것으로 보인다. 한양대 인문은 271~252점, 자연은 288~248점으로 전망된