[신철수 쌤의 국어 지문 읽기] 종 모양의 정규분포, 정점(중간값)의 의미를 이해하자

(78) 함수의 유형 이해

16. [A]를 적용하여 <보기>의 상황을 이해할 때, 적절하지 않은 것은은?

<보기>
두 정당의 정치인 갑과 을이 단일 사안에 대해 경쟁하는 다수결 원칙의 선거 상황에서 갑은 정치 성향이 중간인 M의 입장에서, 을은 R 성향인 B의 입장에서 정책을 제시하였다. 유권자는 자신의 정치 성향에 따라 단일한 정점 선호를 가지고 있으며 모두 투표에 참여한다.

① 정치 성향이 M의 왼쪽에 있는 L 성향의 유권자들은 모두 갑에게 투표할 것이다.
② 정치 성향이 중간인 M의 입장에서 정책을 제시한 갑이 을보다 당선 가능성이 높을 것이다.
③ 정치 성향이 A인 유권자들은 자신의 정치적 선호 에 따라 R 성향의 정책을 제시한 을에게 투표할 것이다.
④ 정치 성향이 B의 오른쪽에 있는 R 성향의 유권자들은 자신의 효용을 극대화하기 위해 을에게 투표할 것이다.
⑤ 을이 당선 가능성을 높이기 위해 공약을 수정한다면 을은 갑이 제시한 정책과 유사한 정치 성향을 띤 공약을 내세우려 할 것이다.

-2022학년도 7월 교육청 전국연합학력평가-

[A]를 적용하여 … 단일 사안에 대해 경쟁하는 다수결 원칙… 단일한 정점 선호
위 문제에서 ‘[A]를 적용하’라고 하였는데, 그 [A]는 다음과 같다.

중위투표자 정리 모형은 단일 사안에 대해 유권자의 정치적 선호가 하나의 정점을 갖는 단일 선호일 경우, 경쟁하는 두 정당의 정치인들이 내거는 공약은 중위투표자가 선호하는 정책에 접근하게 된다는 이론이다. 이때 중위투표자란 정치적 선호에 따른 유권자 전체의 분포에서 한가운데에 위치한 유권자를 말한다. 이 모형은 몇 가지 가정을 전제로 하는데 정치적 선호에 따른 유권자들의 분포는 종 모양의 정규분포를 가지며 유권자는 자신의 선호 체계에 가장 가까운 공약을 제시하는 정치인에게 투표한다는 것이다. 이 경우 선거의 승리를 목적으로 하는 정치인의 정책은 그의 정치적 이념과 관계없이, 중위투표자의 선호를 반영하는 방향으로 수렴하는 경향이 생긴다.

[A]를 통해 알 수 있는 것은 다음과 같다.

*단일 선호는 단일 사안에 대해 유권자의 정치적 선호가 하나의 정점을 갖는 것이다.
*경쟁하는 … 정치인들… 공약은 중위투표자가 선호하는 정책에 접근한다.
*중위투표자는 정치적 선호에 따른 유권자 전체의 분포에서 한가운데에 위치한 유권자이다.
*정치적 선호에 따른 유권자들의 분포는 종 모양의 정규분포를 가진다.
*유권자는 자신의 선호 체계에 가장 가까운 공약을 제시하는 정치인에게 투표한다.
*정치인의 정책은 … 중위투표자의 선호를 반영하는 방향으로 수렴한다.

이를 바탕으로 파악해 보면 <보기>의 ‘단일 사안에 대해 경쟁하는 다수결 원칙’은 유권자들이 원하는 바를 다수결로 결정하는 것을 말하고, ‘단일한 정점 선호’는 종 모양의 정규분포를 가지는, 정치적 선호에 따른 유권자들의 분포에서 한가운데 위치한 것을 말한다.
M
이 문제에서 ‘M’의 의미를 알기 위해서는 정규분포를 이해할 필요가 있는데, 이는 고등학생이면 알고 있어야 하는 내용이다.

‘정치 성향에 따른 유권자 분포도’라는 <보기>의 내용을 보면, 정규분포는 ‘정치 성향’을 독립변수, ‘투표자 수’를 종속변수로 하는 함수를 나타낸 것이다. ‘분포’란 일반적으로 일정한 범위에 흩어져 퍼져 있음을 뜻하는 말이지만, 수학에서는 <보기>에서 보는 바와 같이 종속변수의 ‘수’로 이해하면 된다. 결국 ‘정규분포’란 독립변수에 따른 종속변수의 수가 가장 많은 경우가 있고, 그것을 기준으로 a 그리고 그와 정반대인 -a는 같은 수임을 나타내는 함수다. 그래서 그것은 종 모양을 하고 있는 것이다. 이를 바탕으로 ‘정치인의 정책은 … 중위투표자의 선호를 반영하는 방향으로 수렴한다’는 것은 정치인의 정책은 정규분포에서 유권자 수가 가장 많은 경우임을 추리할 수 있다.

그런데 [A]에서 ‘정치인들… 공약은 중위투표자가 선호하는 정책에 접근하게 된다’고 했다. 이때 ‘중위투표자가 선호하는 정책’에 해당하는 것은 <보기>의 정규분포의 M이다. 결국 <보기>의 ‘갑’ ‘을’은 M에 가까운 정책을 낼 것이고, 유권자들은 M에 가까운 정책을 낸 정치인에게 투표할 것이다. 이에 따르면 ‘정치 성향이 M의 왼쪽에 있는 L 성향의 유권자들은 모두 갑에게 투표’한다는 ①은 적절한 설명이고, ‘정치 성향이 중간인 M의 입장에서 정책을 제시한 갑이 을보다 당선 가능성이 높을 것이’라는 ② 또한 적절한 설명이다.

④는 M에 투표하지 못할 경우, ‘R 성향의 유권자들’이 취할 수 있는 투표를 고려하면 적절하고, M에 가까운 정책을 내놓아야 ‘당선 가능성을 높’일 수 있으므로, ‘을은 갑이 제시한 정책과 유사한 정치 성향을 띤 공약을 내세우려 할 것이’라는 ⑤는 적절하다. 이에 반해 ③은 ‘정치 성향’에 따라 ‘투표’한다는 것을 말한 것인데, 이는 ‘자신의 선호체계에 가장 가까운 공약을 제시하는 정치인에게 투표’하는 유권자의 투표에 어긋나는 것이다.
포인트

성보고 교사

1. 지문의 주요 개념을 <보기>의 사례에 적용하는 문제가 있다.

2. 정규분포는 독립변수와 종속변수로 구성된 함수의 일종이다.

3. ‘정규분포’란 독립변수에 따른 종속변수에 가장 많은 경우가 있고, 그것을 기준으로 a 그리고 그와 정반대인 -a는 같은 수임을 나타낸다.

4. ‘수렴’은 변수가 일정한 값에 한없이 가까워지는 것을 말한다.