[신철수 쌤의 국어 지문 읽기] 수학 기호는 손가락, 수학적 개념은 달!

(51) 수학적 기호와 개념

고전 검사 이론을 활용하면 피험자의 능력과 문항의 특성에 대한 분석이 비교적 간단하지만, 문항의 특성이 피험자 집단에 따라 달라지거나, 피험자의 능력이 검사의 특성에 따라 다르게 나타나는 한계가 있다.

이와 달리 문항 반응 이론에서는 피험자의 능력은 고유하며, 문항의 난이도나 변별도 역시 변하지 않는다고 간주한다. 문항 반응 이론에서는 피험자의 능력과 문항의 특성을 분석하기 위해 피험자의 응답에 기반하여 확률적으로 접근하는데, 이때 문항 특성 곡선이 활용된다. 문항 특성 곡선은 피험자의 능력(θ)에 따라 어떤 문항의 답을 맞힐 확률을 나타내는 S자 형태의 곡선이다.(중략)

문항 반응 이론에서 θ는 검사를 구성하는 각 문항의 문항 특성 곡선으로부터 도출된 정보를 종합적으로 고려하여 추정할 수 있다. 예를 들어 어떤 피험자가 n개의 문항에 응답했다면 각 문항의 문항 특성 곡선에서 θ를 임의의 값으로 설정하여 P1(θ), P2(θ), … Pn(θ)을 구한다. 이렇게 구한 각각의 값은 ㉮피험자의 실제 응답과 차이가 있다. 그래서 θ의 수치를 바꾸어 가면서 그 차이가 무시해도 될 정도로 매우 작아지는 θ의 수치를 구해 이를 피험자의 능력으로 추정한다.

고전 검사 이론을 활용하면 …이와 달리 문항 반응 이론에서는‘A 이와 달리 B’라는 문장들은 A와 B가 반대의 의미임을 나타낸다. 지문에서 ‘문항의 특성이 피험자 집단에 따라 달라지거나, 피험자의 능력이 검사의 특성에 따라 다르다’는 내용이나 ‘피험자의 능력은 고유하며, 문항의 난이도나 변별도 역시 변하지 않는다’는 내용은 문항 특성에 관한 전문적인 내용이라 고등학생 수준을 벗어난다. 이를 이해하기 위해 앞뒤의 내용을 이용할 수밖에 없는데, ‘이와 달리’라는 어구에 착안해야 한다. 이를 정리하면 다음과 같다.

특히 ‘문항의 특성 = 문항의 난이도나 변별도’ ‘검사의 특성에 따라 다르다/다르지 않다 = 고유하지 않다/고유하다’와 같이 의미 파악을 할 수 있는 것은 반대 관계를 이용한 국어 능력. 피험자의 능력(θ)에 따라 어떤 문항의 답을 맞힐 확률… P1(θ), P2(θ), … Pn(θ)을 구한다. … 각각의 값은 ㉮ 피험자의 실제 응답과 차이가 있다. … ㉮의 이유기호는 개념을 간단하게 표현한 것이다. ‘겉은 빨갛고 속은 희며, 달콤하고도 신맛이 나는 것’을 우리는 ‘사과’라는 기호로 표현한다. 굳이 ‘사과’라 하지 않아도 된다. ‘apple’이라고 하는 사람들이 있지 않나? 언제가 그것을 ‘아시’라고 하는 아이를 본 적이 있다. 신맛을 강렬하게 느꼈는지 그렇게 불렀다. 똑같은 대상을 편리에 따라 기호를 달리 할 수 있다. 다만 많은 사람이 약속한 기호가 있다. 한국 사회에서는 ‘사과’가, 영어권 사회에서는 ‘apple’이 널리 약속한 기호고, ‘아시’는 아니다(이를 언어학에서는 자의성과 사회성이라는 개념으로 설명한다).

수학 기호도 마찬가지다. ‘+, -, =’ 등은 ‘더하다, 빼다, 같다’는 수학적 개념을 표현한 기호다. ‘P(θ)’도 마찬가지로 수학적 개념의 하나인 함수를 표현한 기호다. 다만 ‘+, -, =’는 전 세계적으로 약속된 기호지만, ‘P(θ)’는 상황에 따라 임의로 정한 기호라는 차이가 있다. 그렇다고 ‘P(θ)’가 아무렇게나 정해진 기호는 아니다. 흔히 함수를 표현할 때 ( )의 안에 독립 변수를, 밖에 종속 변수와 관련된 문자를 쓰는 형식을 취한다. 즉 ‘P(θ)’는 θ라는 독립 변수와 P라는 종속 변수와 관련된 것이다. 독립 변수로 그리스 문자 ‘θ’(흔히 ‘세타’라고 읽는다)를 쓴 이유는 모른다. 통계학에서 변수를 나타낼 때 흔히 쓰는 문자가 θ다. 종속변수와 관련해 P를 쓰는 이유는 있다. 그것이 확률을 뜻하는 영단어 ‘probability’의 첫 문자이기 때문이다.

수학 기호만 보면 긴장하는 학생들이 있다. 중요한 것은 기호가 아니라 개념인데도 말이다. ‘달을 가리키면 달을 봐야지 왜 손가락을 보느냐?’는 말이 있다. 견지망월(見指忘月: 손가락을 보고 달을 잊는다)을 풀이한 이 말은, 중요하지 않은 것에 집착하는 태도를 꼬집는 말이다. 수학 기호가 손가락이라면 수학적 개념은 달이다.

신철수 성보고 교사

이를 바탕으로 문제에서 요구하는 ‘㉮의 이유’를 생각해보자. 지문에서 말하는 ‘각각의 값’은 ‘P1(θ), P2(θ), … Pn(θ)’이다. 이 기호가 말하는 수학적 개념은 무엇인가? ‘피험자의 능력(θ)에 따라 답을 맞힐 확률’이다. 지문에서 ‘각각의 값은 ㉮피험자의 실제 응답과 차이가 있다’는 말은 ‘각각의 값이 피험자의 실제 응답과 항상 같은 것은 아니다’라는 뜻이다. 결국 ‘㉮의 이유’는 ‘답을 맞힐 확률’이 ‘실제 응답’과 차이가 나는 이유를 파악하면 알게 되는데, ‘답을 맞힐 확률’에 영향을 미치는 것은 독립변수 ‘피험자의 능력(θ)’이므로 피험자의 능력(θ)이 어떤 특성이 있는지를 파악하면 문제의 답을 알 수 있다. 지문에 의하면 그것은 ‘임의의 값으로 설정’된 것이고, ‘추정’되는 것이다.

이에 따르면 피험자의 능력(θ) 또한 일어날 가능성의 정도를 나타내는 수학적 개념인 ‘확률’이다. 수학적 개념과 기호, 이를 제대로 이해하는 것 또한 국어 능력임을 잊지 말도록 하자. 포인트1. ‘A 이와 달리 B’라는 문장들은 A와 B가 반대의 의미임을 생각하며 읽도록 하자.

2. 고등학생 수준을 벗어나는 전문적인 내용은 문장들의 관계를 고려해 대강이라도 이해하자.

3. 기호는 개념을 표현하기 위한 것으로, 자의성과 사회성이 있음을 알아 두자.

4. 함수를 표현할 때 ( )의 안에 독립 변수를, 밖에 종속 변수를 나타내는 문자를 쓰는 형식으로 함을 알아 두자.

5. 일어날 가능성의 정도를 나타내는 수학적 개념인 ‘확률’의 본질을 알아 두자.