[영·수야! 놀자] 서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계-배시원 쌤의 신나는 영어여행

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - 히피아스가 제시한 각의 3등분

그림1

고대 그리스부터 내려온 3대 작도 불가능 문제는 다음과 같다.

① 주어진 각을 삼등분할 수 있는가?

② 주어진 정육면체의 부피가 두 배가 되는 정육면체를 구할 수 있는가?

③ 주어진 원과 넓이가 같은 정사각형을 구할 수 있는가?

물론 작도는 눈금없는 자와 컴퍼스만을 이용해야 한다. 기원전에 제기된 문제로 수많은 수학자들이 이 문제를 해결했다고 주장했지만, 19세기에 대수적으로 작도불가능하다는 것이 증명되었다. 지난 호에서 배적 문제를 이차곡선(포물선)으로 해결한 것을 다루었는데, 이번 호에서는 각의 삼등분 문제을 다룰 것이다.

그림2

각의 삼등분 문제는 기원전 425년께 그리스 수학자 히피아스(Hippias)가 제시하였다. 주어진 선분을 삼등분할 수 있으므로 주어진 각의 삼등분도 쉽게 할 수 있을 것 같지만, 눈금없는 자와 컴퍼스만으로는 작도가 불가능하다. 수많은 사람이 이 문제를 해결했다고 주장했지만, 그 해법을 살펴보면 눈금없는 자와 컴퍼스 외에 다른 도구를 사용해 해결한 것이다. 히피아스는 원적곡선을 이용한 해법을 제시하였는데, 원적곡선이란 [그림1]에서와 같이 점 P가 A를 출발해 B까지 원을 따라 움직이고 같은 속도로 선분 QR이 선분 DC를 출발해 선분 AB까지 움직일 때, 두 선분 AP, QR이 만나는 점의 자취다. 원적곡선을 이용한 작도방법은 다음과 같다. [그림1]

① 선분 PA와 원적곡선이 만나는 점 F를 작도한다.

② 선분 FH의 삼등분선을 작도하여 점 E를 작도한다.

③ 점 E를 지나고 선분 AB에 평행한 직선을 작도하여 원적곡선과 만나는 점 G를 작도한다.

④ 직선 AG와 원이 만나는 점 X를 작도하면 각 XAB가 주어진 각의 삼등분각이 된다.

원적곡선을 그리려면 점을 하나하나 찍어야 하는데, 더 간단한 방법은 없을까? 위대한 수학자 아르키메데스는 두 점이 찍혀 있는 자를 이용해 이 문제를 다음과 같이 해결하였다. [그림2]

① A를 중심으로 자에 있는 두 점으로 결정되는 길이를 반지름으로 하는 원을 그리고 주어진 각의 반직선과 만나는 점을 B, C라 하자.

② 선분 AC를 연장하여 직선 AC를 작도한다.

③ 자에 있는 두 점 중 하나는 원을 지나고, 나머지 하나는 직선 AC를 지나도록 움직이면서 이 자가 점 B를 지날 때 직선을 그리고 이 직선과 직선 AC가 만나는 점을 D라 하자.

④ 각 BDC가 주어진 각 BAC의 삼등분각이다.

단 눈금 두 개만을 추가해 작도불가능 문제를 해결하다니 역시 천재들의 생각은 놀랍다.

■김국인 선생님

김국인 선생님은 현재 서울과학고등학교에 근무하신다. 서울대에서 수학교육을 전공하였으며 서울대 대학원에서 수학교육으로 석사학위를 받았다.

배시원 쌤의 신나는 영어여행 - autumn…fall…love

‘사랑에 빠지다’를 영어로 fall in love라고 해요. 이 가을, 모두 사랑에 빠져볼까요

영국에서는 주로 가을을 autumn이라고 하지만, 미국에서는 fall이라는 단어를 많이 사용합니다. fall에 ‘(낙엽이) 떨어지다’의 의미가 있기 때문이지요. ‘사랑에 빠지다’ 역시 영어로는 fall in love라고 하는데, 사랑의 계절(?)인 가을을 맞아 Love(사랑)와 관련된 표현들에 대해 알아보도록 하겠습니다.

테니스에서는 0점을 zero라고 하지 않고 love라고 부릅니다. 여기에는 여러가지 설이 있는데, 테니스 점수판에 적힌 0점이 계란처럼 보여서, 프랑스 사람들은 0점을 계란(l'oeuf, 뢰프)라고 불렀다고 합니다. 그리고 점차 시간이 흘러 미국에서도 테니스가 유행하기 시작하자, 미국 사람들도 프랑스 발음을 따라 하기 시작했는데, 이 발음이 점차 변해 지금의 love(러브)가 되었다고 하네요. 이유야 어쨌든 간에, 사랑(love)가 들어간 스포츠인 테니스 왠지 설레지 않으세요?^^

‘첫사랑’, 아니 보다 정확하게는 ‘풋사랑’은 영어로 puppy love라고 한답니다. ‘강아지의 사랑’ 어찌 보면 참 귀여운 표현이지만, 처음에는 부정적인 뉘앙스로 쓰였다고 하네요. 하지만, 시대가 변하면 언어도 변하는 법. 지금은 소년 소녀 시절의 풋풋한 사랑을 뜻하는 표현이니 예쁜 puppy love 많이 하세요.

반대로 ‘(조건을 따지는) 이해타산적인 사랑’은 cupboard love라고 합니다. 말 그대로 cupboard(찬장)에 있는 과자를 얻기 위해, 엄마에게 애교를 부르는 모습을 그린 다소 슬픈 표현이랍니다. 저도 어린 시절에 용돈을 타기 위해 어머니 앞에서 갖은 아양(?)을 다 떨었는데, 아... 반성 또 반성입니다.

이처럼 뭔가를 얻기 위해 사랑을 가장하기도 하지만, 반대로 사랑하기 때문에 그 사람의 모든 조건들이 좋아 보일 수도 있습니다. 우리 속담에 ‘아내가 사랑스러우면, 처갓집 말뚝에도 절을 한다.’라는 말이 있는 것처럼 영어에도 Love me, love my dog(날 사랑한다면, 내 개도 좋아해주세요)라는 표현이 있답니다. 정말 그 사람의 [단점]까지도 좋아할 수 있는 것이 사랑인 것 같습니다.

끝으로 ‘눈에 콩깍지가 씌였다.’라는 말은 영어로는 One cannot love and be wise라고 하는데, 말 그대로 ‘사랑을 하면 현명해지지 못한다’라는 뜻입니다. 그런데, 영어에서는 ‘사랑니’를 wisdom tooth라고 해서 ‘지혜가 생길 때 쯤 나는 이’라고 여기지만, 우리는 ‘사랑의 아픔을 이해할 때 쯤 나는 이’라고 여긴 것을 보면, 동서양의 시각차도 느낄 수 있습니다.

이 가을에는, 모두 사랑하세요~!!! 가족도... 친구도~^^*

■ 배시원 선생님

배시원 선생님은 호주 맥쿼리대 통번역 대학원에서 석사학위를 받았으며 현재 배시원 영어교실 원장을 맡고 있다. 고려대 등 대학과 김영 편입학원, YBM, ANC 승무원학원에서 토익·토플을 강의했다.