[영·수야! 놀자] 서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계-배시원 쌤의 신나는 영어여행

서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - 별모양의 하이퍼사이클로이드 곡선

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지난 호에서는 한 원이 다른 원의 바깥쪽 둘레를 따라 미끄러지지 않고 회전할 때 구르는 원 위의 한 점이 그리는 곡선인 에피사이클로이드에 대해 살펴보았다. 이번 호에서는 안쪽 둘레를 따라 구를 때 어떤 곡선을 그리게 되는지 살펴보자.

<그림1>에서 큰 원의 반지름을 kr, 구르는 원의 반지름을 r이라 하면 구르는 원 위의 한 점 P 의 좌표는 θ로 매개화하여 <수식1>과 같이 나타낼 수 있다. (지난 호의 에피사이클로이드 곡선의 식과 매우 비슷하다!)

k=3,4,5일 때 곡선은 <그림2>, <그림3>, <그림4>와 같다. k 의 값이 정수이면 첨점(미분불가능한 뽀족한 점)이 k 개인 꽃잎 모양의 곡선이다.

k의 값이 유리수이면 즉, k=p/q (p,q는 자연수)이면 첨점이 p개인 곡선이 된다. <그림5>는 k=11/2인 에피사이클로이드이다. k 의 값이 무리수이면 곡선은 주기성이 없어지게 되고 처음 점으로 다시 돌아올 수 없게 되고 곡선은 반지름이 각각 R , R-2r 인 두 원이 만드는 띠를 가득 채우게 될 것이다.

k가 3이상의 정수일 때 하이퍼사이클로이드의 길이 L(k)와 넓이 A(k)는 각각 <수식2>, <수식3>과 같다.

k의 값을 5/2, 5/3, 5/4와 같이 분자가 5인 분수값으로 택하면 <그림6>과 같은 별 모양의 하이퍼사이클로이드를 그릴 수 있다. 구르는 원의 반지름 r의 크기를 고정시키고 k가 3이상의 정수일 때 하이퍼사이클로이드를 H(k)라 하면 H(k)가 H(k+1) 내부에 존재하도록 그릴 수가 있다. <그림7>은 H(3), H(4), H(5), H(6), H(7)을 겹치지 않게 러시아 인형처럼 그린 것이다. 돌발질문 하나. k=2이면 하이퍼사이클로이드는 어떤 모양일까? 답은 큰 원의 지름인 선분을 그리게 되는데 이를 카르다노 원이라 한다.

■김국인 선생님

김국인 선생님은 현재 서울과학고등학교에 근무하신다. 서울대에서 수학교육을 전공하였으며 서울대 대학원에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 현재 전국연합 모의고사 출제위원으로 활동하고 있다.


배시원 쌤의 신나는 영어여행 - Push (up) daisies…데이지 꽃을 들어 올리다?

쥘 시릴 카베의 ‘데이지 꽃을 든 소녀’

push (up) daisies(데이지 꽃을 들어 올리다)는 놀랍게도 ‘(죽어서) 묻혀있다’라는 뜻이에요. 무덤 위에는 데이지 꽃을 비롯한 많은 야생화들이 피는데, 마치 무덤 속에 누워 있는 사람이 데이지 꽃을 밀어 올린다는 상상에서 나온 표현이에요.

실존주의를 대표하는 철학자 ‘사르트르’는 다음과 같은 멋진 말을 남겼습니다. “인생은 B(birth)와 D(death) 사이의 C(choice)이다.” 네, 사람은 누구나 태어나서부터 죽을 때까지, 끊임없이 선택의 순간을 맞이할 수밖에 없습니다. 그래서 오늘은 다소 무겁지만, 죽음과 관련된 표현들에 대해 알아보도록 하겠습니다. (음... 납량 특징은 아닙니다)

우선, 첫 번째 만나 볼 표현은 push (up) daisies란 표현입니다. ‘데이지 꽃을 들어 올리다’ 이게 도대체 무슨 뜻일까요? 놀랍게도 ‘(죽어서) 묻혀있다’라는 뜻이랍니다. 무덤 위에는 데이지 꽃을 비롯한 많은 야생화들이 피는데, 마치 무덤 속에 누워 있는 사람이 데이지 꽃을 밀어 올린다는 다소 발칙한(?) 상상에서 나온 표현이랍니다. Pushing Daisies란 제목의 미드도 있는데, 죽은 사람을 살릴 수 있는 주인공이 나오는 판타지 드라마랍니다.

Six feet under라는 표현도 있는데, 이 역시 ‘매장된, 무덤 속에 있는’이란 뜻입니다. 보통 관을 땅 속에 묻을 때, 6피트(약 1m 80cm) 아래 정도의 깊이에 넣는 데에서 나온 말이라고 하네요. 이 표현도 장의사가 주인공인 같은 제목의 미드가 있는데, 참고로 장의사는 undertaker라고 한답니다. 좀 더 수준을 높여서, memento mori라는 라틴어 표현을 알아보도록 하겠습니다. 영어로는 remember (that you have) to die로 쓸 수 있는데, ‘죽을 수밖에 없는 존재임을 기억하라’라는 참 철학적인 표현이랍니다.

[인터스텔라]와 [인셉션]으로 유명한 ‘크리스토퍼 놀란’ 감독의 [메멘토]란 영화가 기억 (상실)을 다룬 것은 어쩌면 너무나 당연한 일일 지도 모릅니다. memento가 바로 ‘기억’이란 뜻이니까요. Memento mori는 carpe diem과 함께 쓰기도 하는데, seize the day, ‘현재를 즐기다’라는 뜻입니다. 즉, 인간은 불멸의 존재가 아니니 순간순간에 최선을 다하라는 뜻이겠지요. 영화 [죽은 시인의 사회]에서 ‘키팅 선생’님이 carpe diem을 외치던 장면이 아직도 기억에 남는데, ‘키팅 선생’님 역할을 한 배우 ‘로빈 윌리엄스’가 세상을 떠난 지도 벌써 1년이 되었네요.

끝이 있기에, 지금 이 시간들이 더 소중한지도 모르겠습니다. 이 시간에도 땀 흘리며 노력하는 모든 학생들... 홧팅 또 홧팅입니다~!!! May the force be with you~!!!

■ 배시원 선생님

배시원 선생님은 호주 맥쿼리대 통번역 대학원에서 석사학위를 받았으며 현재 배시원 영어교실 원장을 맡고 있다. 김영 편입학원, YBM, ANC 승무원학원 등에서 토익·토플을 강의했다. 고려대 성균관대 등 대학에서도 토익·토플을 가르치고, 한영외고 중앙고 숭문고 등에서 방과후 텝스를 강의했다.