[영·수야! 놀자] 하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계-배시원 쌤의 신나는 영어여행

하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계 - 끊임없이 되풀이 되는 '프랙탈'

‘프랙탈 도형’이란 부분이 전체를 닮는 자기 유사성(self similarity)과 순환성(recursiveness)을 특징으로 갖는 기하학적인 형상을 말한다. 즉, 프랙탈은 작은 구조가 전체 구조와 비슷한 형태로 끊임없이 되풀이되는 구조를 말한다. 프랙탈 도형은 비정수적 차원의 특징을 갖는다. 꾸물거리는 정도, 속이 비는 비율 등을 정량화하는 정수가 아닌 소수로 정해지는 이런 차원을 ‘프랙탈 차원’이라 부른다. 그럼 차원은 어떤 방법으로 구할 수 있을까.

유클리드 도형의 양에는 길이, 넓이, 부피 등이 있다. 이러한 여러 가지 양의 크기를 ‘측도’라고 한다. 1차원 도형의 측도는 ‘길이’며, 2차원 도형의 측도는 ‘넓이’고, 3차원 도형의 측도는 부피다. 이처럼 도형은 그 차원에 따라 측도가 달라진다. 차원이 다른 도형을 확대하면 그 크기, 즉 측도가 달라진다. 예를 들어 일정한 길이의 1차원 도형인 선분을 3배로 확대하면 그 길이는 3¹배가 된다. 그러나 2차원 도형인 정사각형을 3배로 확대하면 넓이는 3²배가 되고, 3차원 정육면체의 경우에는 부피가 3³배로 늘어난다.

이를 정리하면 표와 같은데 이를 통해 수식 1 (단, D는 차원, r은 확대율, N은 분할 된 개수)임을 알 수 있다.

즉, 이 식을 로그를 이용하여 표현하면 수식 2.

이제 구체적인 예를 통해 프랙탈 차원을 직접 구해보도록 하자.

1. 칸토어집합

(1) 만드는 방법

① 주어진 선분을 3등분한 후 가운데 부분을 제거한다.
② 남은 두 부분을 각각 3등분한 후 그 각각의 가운데 부분을 제거한다.
③ 이 과정을 반복한다.

(2) 프랙탈 차원

칸토어 집합을 의 크기로 줄이면 원래 칸토어 집합의 모양과 같으므로 닮음비는 이다. 1/3로 축소된 칸토어 집합이 2개 있으므로 수식 3 이 된다. 칸토어집합은 1보다 작은 차원을 갖는다.

2. 시어핀스키 삼각형

(1) 만드는 방법

① 정삼각형을 그리고 정삼각형의 각 변의 중점을 연결한다.
② 만들어진 네 개의 정삼각형 중에서 가운데 삼각형을 제거한다.
③ 남은 삼각형에 대해서 위의 과정을 반복한다.

(2) 프랙탈 차원

시어핀스키 삼각형의 닮음비는 1:2 이다. 1/2로 축소된 시어핀스키 삼각형이 3개 있으므로 수식 4 이다. 시어핀스키 삼각형은 2보다 작은 차원을 갖는다.

조계성 선생님은 현재 하나고 에 근무하신다. 명덕외고, 대성학원에서도 수학을 가르쳤다. 전국연합모의고사 출제위원도 맡고 있다. 서울대에서 수학교육을 전공했으며 연세대에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 저서로는 ‘개념+유형 시리즈’ 등 다수가 있다.

배시원 쌤의 신나는 영어여행 -Can I take a rain check?

지난 시간에 이어, 날씨 관련 표현에 대해 알아보도록 하겠습니다. 첫 번째 표현은 바로 rain check인데 ‘뭔가 정중히 거절하고 싶을 때’ 사용하는 표현이랍니다. 19세기 말께 미국에서는 야구경기를 보러온 관중들에게 비가 와서 취소된 경우 다음 경기를 보러 올 수 있는 티켓을 나누어 준 데서 유래되었다고 하네요. 그래서 Can I take a rain check?라고 하면 ‘다음 기회에’ 정도로 이해하시면 됩니다.

이처럼 영어에는 야구 관련 표현이 많은데요. 텝스 시험에서도 자주 나오는 ballpark figure라는 표현도 있습니다. ‘대략적인 수치’라는 뜻인데, 야구장(ballpark)에 온 인원을 말할 때, 몇 만명의 관중이라고는 해도 정확한 수치를 말하기는 힘들잖아요. 그래서 Just give me the ballpark figure라고 하면 ‘그냥 대략적인 수치만 알려줘’ 정도의 의미가 된답니다.

다시 날씨로 돌아와서, 우리가 흔히 ‘바바리 코트’라고 부르는 옷은 영국의 유명 브랜드의 이름을 그대로 따서 부르는 콩글리시(?)입니다. 영어로는 raincoat 혹은 trench coat라고 하지요. trench는 원래 ‘참호’라는 뜻인데, 전쟁 중에 참호에서 전투를 벌일 때,

비바람과 추위를 이기기 위해 만든 코트를 영국 ‘버버리’사가 패션 아이템으로 유행시키면서 이런 이름이 생기게 된 것이라고 하네요.

이 단어를 통해 entrench라는 고급 단어를 쉽게 배울 수 있는데, entrench가 원래 ‘둘레에 참호를 파다’라는 뜻으로, ‘확고하게 하다’라는 뜻으로도 많이 사용된답니다. 이처럼 막상 고급 어휘라고 느껴지는 단어들을 알고 보면 쉬운 어원을 통해 익힐 수 있는 경우가 많답니다.

끝으로, second wind라는 표현에 대해 알아보도록 하겠습니다. 우리말로는 ‘원기 회복’ 정도로 번역되는데, 마라톤에서 레이스 시작 이후 가장 힘든 점을 버티고 나면 새로운 힘이 다시 생기는 것에서 유래되었다고 합니다.

혹시 영어 공부가 힘드신가요? 힘들더라도, 한 번 참고 꾸준히 계속해 보세요. 분명히 second wind를 만나게 될 것이고, 그 바람은 좋은 바람, 고마운 바람일 것이라 확신합니다~!!!^^*

배시원 선생님은 호주 맥쿼리대 통번역 대학원에서 석사학위를 받았으며 현재 배시원 영어교실 원장을 맡고 있다. 김영 편입학원, YBM, ANC 승무원학원 등에서 토익·토플을 강의했다. 고려대 성균관대 등 대학에서도 토익·토플을 가르치고, 한영외고 중앙고 숭문고 등에서 방과후 텝스를 강의했다.