[영·수야! 놀자] 하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계-배시원 쌤의 신나는 영어여행

하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계 - 평균 3형제 ‘산술·기하·조화’

시험공부를 열심히 한 생글이는 이번 기말고사에서 평균점수가 중간고사에 비해 10점이나 올랐다고 좋아한다. 이처럼 평균 기온, 평균 수명, 평균 신장 등과 같이 평균이 들어간 단어를 우리는 일상적으로 사용하는데 이런 것들은 주로 ‘산술평균’에 해당하는 개념이다. 산술평균 외에도 상황에 따라 기하평균, 조화평균 등을 쓰는데 이들의 의미와 상호관계를 살펴보자.

1. 가장 일상적으로 사용하는 산술평균(arithmetic mean)

두 수 a, b에 대해 a+b/2를 a,b의 산술평균이라 한다. 마찬 가지로 n개의 자료 a(1)+a(2)+a(3)+.....a(n)에 대한 산술평균은 a(1)+a(2)+a(3)+.....a(n)/n으로 정의되고 이 값은 그 자료의 대푯값으로 많이 사용한다. 그런데 자료의 값 중에서 특별하게 작은 값이나 큰 값이 끼어있으면 그 자료의 대푯값으로서의 역할에 방해를 받게 된다. 이런 이유로 올림픽 체조경기나 피겨스케이팅 경기에서는 심판이 매긴 점수 가운데 최고점수와 최저점수를 제외한 나머지 점수들로만 평균을 내 점수를 매긴다.

2. 변화하는 비율을 나타낼 때 쓰는 기하평균(geometric mean)

두 양수 a,b에 대해 √ab를 a,b의 기하평균이라고 한다. 마찬가지로 n 개의 자료 a(1)+a(2)+a(3)+.....a(n)에 대한 기하평균은 √a(1)+a(2)+a(3)+.....a(n)로 정의된다. 그런데 이 값은 유리수가 될 수도 있지만 주로 무리수인 경우가 많다. 무리수를 수로 인정하지 않은 고대 그리스 시대에는 이 값이 수로서의 의미를 갖지 못하고 기하적인 의미(가로 세로의 길이가 a, b인 직사각형과 같은 넓이를 갖는 정사각형의 한 변의 길이)를 갖는다고 생각해 기하평균이란 이름이 붙여졌다고 한다.

자본금 1억원으로 사업을 시작한 생글씨는 1년 후에 자본금이 2배, 그 다음해에는 8배로 증가했다고 한다. 이 때 자본금은 해마다 평균 2+8/2=5(배) 증가한 것이 아니라 √2×8=4(배) 증가한 셈이다.

3. 화음에서 발견되는 조화평균(harmonic mean)

두 양수 a, b에 대해 2ab/a+b 를 조화평균이라고 하는데 이 값은 주어진 수 a, b의 역수인 1/a, 1/b의 산술평균과 같다. 현악기에서 처음 현의 길이를 1이라 할 때, 현의 길이를 1/2로 줄이면 한 옥타브 높은 음이 난다. 그런데 현의 길이를 1과 1/2의 조화평균인 2/3로 줄이면 5도 높은 음을 얻게 된다. 처음을 나타내는 음을 도라고 하면 5도 높은 음은 솔을 나타내는데 도와 솔은 서로 잘 어울리는 음이다.

이런 의미에서 ‘조화평균‘이라는 이름이 붙여졌다고 한다. 조화평균은 평균속력을 구할 때도 쓰인다. 예를 들어 생글씨가 집에서 30㎞ 떨어진 목적지까지 갈 때는 시속 30㎞의 속도로 가고, 올 때는 시속 60㎞의 속도로 운전했다고 한다. 이때 목적지까지 갔다가 돌아올 때의 평균 속력은 얼마인가?

목적지까지 30㎞의 거리를 갈 때는 1시간, 돌아올 때는 30분이 걸렸으니 총 60㎞의 거리를 1시간30분에 걸쳐 달린 셈이다. 즉, 평균 속력은 40㎞ 시속인데 이는 30과 60의 조화평균인 2×30×60/30+60=40 과 같다.

위에서 살펴본 평균 3형제에게는 엄격한 서열이 정해져 있는데 제일 큰 형 이름이 산술이고 그 다음이 기하, 막내 이름이 조화다. 즉, 양수 a, b에 대해 항상 다음 관계가 성립한다.

(단, 등호는 a=b일 때 성립)

특히 산술평균과 기하평균의 대소 관계는 고등학교 과정에서 다양한 수학문제를 해결하는 데 아주 유용하게 쓰인다. 다음 호에서는 위의 부등식을 증명하는 여러 가지 재미있는 방법에 대해 공부하도록 한다.

조계성

조계성 선생님은 현재 하나고 에 근무하신다. 명덕외고, 대성학원에서도 수학을 가르쳤다. 전국연합모의고사 출제위원도 맡고 있다. 서울대에서 수학교육을 전공했으며 연세대에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 저서로는 ‘개념+유형 시리즈’ 등 다수가 있다.




배시원 쌤의 신나는 영어여행 - smoking gun…총에서 연기가 난다면?

우리나라 속담에 ‘아니 땐 굴뚝에서 연기 나랴’라는 표현이 있다면, 영어에는 smoking gun이라는 표현이 있습니다. 코난 도일의 셜록 홈즈 시리즈에서 유래한 표현으로, 배 안에서 사람이 죽었는데 그 옆에 서 있던 사람이 연기가 나는 총을 들고 있어, 그것이 바로 그 사람이 살해범이라는 결정적인 단서가 되었다는 내용에서 유래되었다고 하네요.

Detective가 형사 혹은 탐정이라는 뜻이기 때문에, 추리 소설을 detective story라고 하는데 아무래도 우리에게 가장 유명한 탐정은 셜록 홈즈(Sherlock Homes)가 아닐까 싶습니다. 그의 이름을 따서 미국에서는 셜로키언(Sherlockian), 영국에서는 홈지언(Homesain)이라고 불리는 엄청난 열성팬들이 있을 뿐만 아니라, 심지어 sherlock이라는 단어가 ‘명탐정’의 뜻으로도 사전에 올라와 있답니다. 또한, 우리나라에서도 많은 방송국에서 다양한 셜록 홈즈 시리즈를 만날 수 있습니다.

한편, 미국의 ‘스모킹 건’이라는 사이트에서는 미국의 유명 가수와 배우, 그리고 스포츠 스타들의 머그 샷(mug shot/ 범죄자 식별 사진)을 볼 수가 있답니다. 우리에게도 친숙한 ‘저스틴 비버’나 ‘린제이 로한’ 그리고 ‘빌 게이츠’ 같은 유명 인사들을 TV 화면이 아닌 경찰서를 배경으로 하는 사진에서 만나는 신기한 경험을 할 수 있습니다.

Smoking gun과 비슷한 표현으로 red-handed를 들 수 있습니다. 말 그대로 ‘빨간 피가 묻은 손’이란 뜻으로, catch somebody red-handed라고 하면, ‘어떤 사람을 현장에서 잡다’라는 의미가 됩니다. concrete evidence 역시 ‘구체적인 증거’란 뜻인데, 미드 캐슬(Castle)에서 평소에도 워낙 말장난을 좋아하는 추리 작가인 주인공이 콘크리트 더미에 빠진 시체를 보고 ‘concrete evidence’라고 말장난을 했다가 주위 사람들을 따가운 눈총을 받던 장면을 잊을 수가 없네요.

끝으로, 영화 셜록 홈즈의 감독 ‘가이 리치’의 데뷔작은 [Lock, Stock, and Two Smoking Barrels]인데, lock이 총의 안전 장치, stock이 총의 개머리판, 그리고 barrel이 총신(총의 몸체)의 의미도 있기 때문에 lock, stock, and barrel이 ‘전부’라는 뜻으로도 사용된답니다. (이 세 가지가 총을 만드는 가장 기본 요소이므로) 그래서 I bought it lock, stock and barrel이라고 하면 “난 그걸 전부 다 샀어”의 뜻이 되는 것이지요. 제목처럼, 영화에서는 총 두 자루가 나오는데, 스포일러 방지를 위해 내용을 공개하지는 않지만, 아마 영화를 다 보시고 나면 이 멋진 제목에 분명 무릎을 치고 있을거라 확신합니다~!!!^^*

배시원

배시원 선생님은 호주 맥쿼리대 통번역 대학원에서 석사학위를 받았으며 현재 배시원 영어교실 원장을 맡고 있다. 김영 편입학원, YBM, ANC 승무원학원 등에서 토익·토플을 강의했다. 고려대 성균관대 등 대학에서도 토익·토플을 가르치고, 한영외고 중앙고 숭문고 등에서 방과후 텝스를 강의했다.