빵 한 조각만으로도 평생 배부르게 먹을 수 있는 비법이 있을까? 위 그림에서 넓이 110㎠인 직사각형 모양의 빵조각에서 귀퉁이의 직각삼각형 모양 두 개를 잘라내어 먹어버렸으니까 남아 있는 빵의 넓이는 109㎠가 되어야 하는데 도로 110㎠인 직사각형이 되어버렸다. 과연 가능한 일인가? 물론 있을 수 없는 일이다. 잘못된 이유를 발견하지 못했다면 이와 비슷한 다음 문제를 통해 대신 답을 찾아보기 바란다.



오른쪽 위 그림과 같이 8×8=64 크기의 정사각형을 네 부분으로 잘라 아래의 그림처럼 이어 붙였더니 13×5=65의 직사각형이 되었다. 분할했던 조각을 다시 맞춘 것이니 넓이는 달라질 수 없는데 직사각형의 넓이는 정사각형에 비해 넓이가 1만큼 커져버렸다. 이게 어떻게 된 일일까?

얼핏 보면 삼각형과 사다리꼴의 변이 일직선 위에 놓여 있는 것처럼 보인다. 하지만 삼각형과 사다리꼴의 변의 기울기를 구해보면 각각 3/8 과 2/5 로 서로 달라 두 변이 일직선상에 놓일 수 없음을 알 수 있다. 사실 정확하게 그림을 그리면 가운데 틈이 생기는데 이 부분의 넓이가 바로 1이다. 이처럼 어떤 도형을 분할했다가 다시 조합했을 때 넓이가 달라지는 것처럼 보이는 현상을 도형분할의 역설(Dissection Paradox)이라고 한다.

이런 종류의 문제는 생각보다 쉽게 만들 수 있는데 피보나치수열의 성질을 이용하면 어렵지 않게 해결된다. 각 도형의 변의 기울기를 결정하는데 사용된 변의 길이는 2,3,5,8,13 으로 피보나치수이다. 변의 기울기가 되는 3/8, 5/13, 8/21 이 모두 비슷한 크기가 되어 눈속임을 하는데 아주 적절하다. 또 피보나치수 5, 8, 13 에서 가운데 수로 만든 정사각형의 넓이 8×8=64는 양 옆의 수로 만든 직사각형의 넓이 13×5=65와 비교하여 1 만큼 차이가 나는데 이것은 피보나치수열에서 일반적으로 성립하는 성질이다. 즉, 자연수에 대해 수식 1이 성립한다. 이러한 성질을 이용한다면 넓이가 1만큼 차이나는 정사각형과 직사각형의 조합을 쉽게 만들 수 있을 것이다. 여러분도 직접 문제를 만들어보길 바란다.

조계성 선생님은 현재 하나고 에 근무하신다. 명덕외고, 대성학원에서도 수학을 가르쳤다. 전국연합모의고사 출제위원도 맡고 있다.

서울대에서 수학교육을 전공했으며 연세대에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 저서로는 ‘개념+유형 시리즈’ 등 다수가 있다.