[영·수야! 놀자] 하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계-배시원 쌤의 신나는 영어여행

하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계 - Bertrand's paradox (베르트랑의 역설)

1889년 프랑스의 수학자 조제프 베르트랑은 그의 저서 Calcul des probabilites (확률론)에서 접근하는 관점에 따라 1/2, 1/3, 1/4 로 제각각 서로 다른 답이 얻어지는 알쏭달쏭한 문제를 소개했다. 베르트랑의 문제는 다음과 같다.

“원에서 임의의 현을 생각하자. 이 현의 길이가 원에 내접하는 정삼각형의 한 변의 길이보다 클 확률을 구하라.”

위 문제에 대해 각자 1/2, 1/3, 1/4 과 같은 답이 생기는 각각의 이유를 설명하고 결론적으로 이 문제가 가지고 있는 본질적인 문제점에 대한 자신의 생각을 노트에 써보길 권한다. 수리논술시험 대비에 좋은 연습이 될 것이라고 생각한다. 다음과 같은 세 가지 풀이 방법을 생각할 수 있다.

(1) 현과 원의 중심 사이의 거리를 무작위로 놓는 방법(random radius)

[그림 1]과 같이 삼각형의 한 변과 평행한 임의의 현을 생각하자. 이 경우 현이 변보다 안쪽에 있을 때 현의 길이가 정삼각형 변의 길이보다 크다. 원의 내접 정삼각형의 변은 반지름을 이등분하므로 구하는 확률은 p=1/2.

(2) 현의 종점을 무작위로 놓는 방법(random endpoint)

[그림 2]와 같이 현의 시작점을 정삼각형의 한 꼭짓점으로 하는 임의의 현을 생각하자. 이 경우 현이 시작점과 마주보는 정삼각형의 변을 지날 때 현의 길이가 정삼각형의 한 변의 길이보다 크다. 이 조건을 만족하기 위해서는 현과 시작점에서의 원의 접선이 이루는 각도가 60°~120° 가 되어야 한다. 현이 시작점의 접선과 이룰 수 있는 각도는 0°~ 180°이므로 구하는 확률은 p= 120°- 60°/ 180°- 0 = 1/3

(3) 현의 중점을 무작위로 놓는 방법(random midpoint)

[그림 3]과 같이 정삼각형에 내접하는 원을 그린다. 삼각형의 한 변보다 긴 현은 안쪽 원을 지나며 현의 중점은 안쪽 원의 내부에 놓이게 된다. 즉 구하는 확률은 현의 중점이 정삼각형의 내접원의 내부에 놓일 확률과 같다. 안쪽 원의 넓이는 큰 원의 넓이의 1/4 이므로 구하는 확률은 p=1/4

위와 같이 같은 문제 상황에 대해 서로 다른 확률이 얻어지는 것은 ‘임의의 현’이라는 표현이 애매하게 정의되어 있어 발생하였다. ‘임의의 현’을 긋는 방법이 구체적으로 제시될 때 확률이 정확하게 결정된다.

조계성

조계성 선생님은 현재 하나고 수학 교사다. 명덕외고, 대성학원에서도 수학을 가르쳤다. 전국연합모의고사 출제위원도 맡고 있다. 서울대에서 수학교육을 전공했으며 연세대에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 저서로는 ‘개념+유형 시리즈’ 등 다수가 있다.

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배시원 쌤의 신나는 영어여행 - 훌륭한 영어교재 ‘미국 드라마’를 아시나요?

영어를 공부하는 데 있어 여러 교재가 있지만 많은 분들이 공감하듯 미국 드라마 역시 잘 활용만 한다면 충분히 좋은 교재가 될 수 있습니다. 그래서 학습에 도움이 되는 미드(미국 드라마) 몇 개를 소개하고자 합니다.

1. C.S.I:Crime Scene Investigation의 약자로 범죄 현장 조사를 하는 과학수사대 이야기입니다. 오리지널인 라스베이거스부터 스핀 오프격인 마이애미와 뉴욕까지 미국은 물론 한국에서도 엄청 인기를 끌고 있는 드라마인데 심지어는 CSI 효과(검찰의 범죄 검식에 대해 배심원들이 지나치게 높은 기대를 하는 현상)라는 신조어가 생길 만큼 이제는 하나의 문화 현상으로 자리매김한 최장수 미드 중 하나입니다. 법의학을 주로 다루는 드라마인 만큼 전문 용어들이 꽤 많습니다. 텝스 정답으로 자주 나오는 coroner(검시관)가 적힌 조끼를 입고 주로 autopsy(부검)를 통해 범인을 밝혀냅니다.

2. Suits:양복과 소송으로 둘 다 번역될 수 있는 suit란 단어를 이용한 멋진 제목의 법정 드라마입니다. 하버드 로스쿨을 졸업한 천재와 하버드 로스쿨을 졸업하지 않은 천재의 두뇌 싸움과 우정을 그린 정말 세련된 미드인데 법정 드라마인 만큼 법률 용어들을 쉽게 만날 수 있습니다. 재판에서 jury(배심원)는 unanimous verdict(만장일치 평결)에 이르기 위해 plaintiff(원고)와 defendant(피고)의 진술을 유심히 듣고 혹시 perjury(위증)를 하지 않나 판단해야 하고 guilty or not guilty(유죄냐 무죄냐)를 결정해야 합니다. 그리고 범죄자는 자신의 형량을 낮추기 위해 plea bargain(사법 거래)을 하기도 하고 felony(중범죄)냐, misdemeanor(경범죄)냐에 따라 sentence(선고)가 달라지기도 하지요. 이외에도 우리가 고급 단어 혹은 어려운 단어라고 분류하는 법정 용어들을 매회 지겹도록(?) 만날 수 있으니 최고의 어휘 교재라 생각합니다.

3. West: wing이 날개란 뜻 말고 부속 건물이란 뜻도 있는데 그래서 west wing은 백악관 서쪽 별관에 자리 잡은 비서실에서 일어나는 일을 다룬 정치드라마로 대통령과 그 측근들의 삶과 고민을 그린 명작입니다. 정치 드라마이다 보니 역시 정치와 외교의 고급 단어들을 쉽게 만날 수 있습니다. 참고로 대통령 집무실을 oval office라고 하는데 미국 대통령 집무실을 가보지 않으셔도 이제 타원형(oval)이란 걸 아실 수 있겠죠?

또한 1600 Pennsylvania Avenue가 백악관 주소이기 때문에 많은 미드에서 장난 전화를 걸 때나, 혹은 맘에 들지 않는 남자에게 주소를 알려주기 싫을 때 이 주소를 언급하는 경우가 많으니 이제는 같이 웃으셔도 됩니다. 다양한 소재의 미드들이 정말 많지만 고급 어휘를 공부하는 데 있어 위 세 미드들은 정말 도움이 많이 된다고 생각합니다. 프렌즈부터 위기의 주부들, 빅뱅이론, 그리고 가십걸까지….

어느 미드가 더 좋고 더 훌륭하다고 말할 수는 없을 것 같습니다. 각자의 취향에 따라 맞는 것을 선택하면 그게 가장 좋은 교재가 될 테니 영어에 목마른 많은 분들에게 조금이나마 도움이 됐기 바랍니다.

배시원

배시원 선생님은 호주 맥쿼리대 통번역 대학원에서 석사학위를 받았으며 현재 배시원 영어교실 원장을 맡고 있다. 김영 편입학원, YBM, ANC 승무원학원 등에서 토익·토플을 강의했다. 고려대 성균관대 등 대학에서도 토익·토플을 가르치고, 한영외고 중앙고 숭문고 등에서 방과후 텝스를 강의했다.