[논술 길잡이] 유경호의 자연계 논술 뽀개기 ⑤ 2008학년도 고려대 자연계 논술의 핵심을 잡아라! <끝>

2008학년도 고려대 자연계 논술이 오는 11월24일(토) 오후 3시부터 6시까지 세 시간에 걸쳐 실시될 예정이다.

이번 고려대 자연계 논술은 언어 논술이 배제된 수학·과학 논술이다.

그동안 문제가 됐던 채점의 투명성과 객관성을 높이기 위해 논제의 평가 요소가 분명한 자연계 논술을 출제할 것으로 예상된다.

2008학년도 모의 논술을 바탕으로 고려대 자연계 논술에 대해 알아 보자.

첫째，고려대 자연계 논술은 통합 논술이다.

모의 논술을 근거로 살펴보면 고려대 논술은 과학 통합형이다.

고려대 자연계 논술은 수학과 과학의 통합적 성격보다 과학 과목별 통합의 성격이 강한 것이 특징이다.

과목의 특성상 물리와 지구과학，화학과 생물의 통합형 문제가 출제될 것으로 예상된다.

이를 준비하기 위해서 지구과학 안에서 소개되고 활용되는 물리 개념과 생물 안에서 활용되는 화학 개념을 꼼꼼히 살펴보고 그 원리를 이해하는 공부가 필요하다.

둘째，고려대 자연계 논술 중 수학은 현실의 문제를 수학적으로 해결하는 수학적 모델링에 관한 문제가 많이 출제되었다.

지금까지 고려대 수학 관련 논술을 살펴보면 실생활에서 발생할 수 있는 문제를 수학적으로 사고하고 해결할 수 있는 능력을 묻는 문제가 주로 출제되었다.

이것을 수학적 모델링이라고 하는데，이번 모의 논술에서도 적분에 관련된 모델링 문제가 출제되었다.

현실과 수학은 다르다.

현실에서는 당연히 '오차'라는 것이 생길 수밖에 없다.

그래서 정확하게 결과를 추정하는 것이 어렵지만 근사한 결과를 수학적 사고를 바탕으로 추정할 수 있다.

수학적 모델링에 관한 문제들은 수학 교과서 각 단원별 '읽기자료''심화학습' 등에 소개되어 있다.

이것들을 꼼꼼히 살펴보고 직접 답안 작성을 해 보는 것이 고려대 수학 관련 논술을 해결하는 데 많은 도움을 줄 것이다.

셋째，자연계 논제의 출제 의도를 파악하라!

모의논술 평가 과정에서 밝혔던 결과의 투명성과 객관성을 확보하기 위해 고려대 자연계 논제들의 출제 의도는 더욱 명확할 것으로 예상된다.

즉，논제의 출제 의도를 조금이라도 잘못 해석한다면 핵심에서 벗어난 답안으로 점수를 얻지 못하는 경우가 생길 수 있다.

또한 고려대 자연계 경쟁률을 감안한다면 변별력을 키우기 위해서라도 난이도가 높은 논제들을 출제할 것이고 이런 논제 해결의 핵심은 역시 출제 의도를 정확히 이해하고 제시문에서 얻은 정보를 통해 답안을 작성하는 것뿐이다.

다음 문제는 '자·수·전(자연계 통합논술을 위한 수학적 전략)'을 연재할 때 한 번 다뤘던 내용이지만，새로운 시각에서 접근해 보자.

<고려대 자연계 논술 이렇게 출제한다>

⊙2008학년도 모의논술 [문제 3]

X-선 컴퓨터 단층촬영(X-ray CT)은 물질 내에 있는 불순물의 크기를 밝히는 데 사용되기도 한다.

모 회사 연구소에서 세라믹 내부에 크기를 알 수 없는 금속 불순물 덩어리 하나가 발견되었다.

이 불순물의 부피를 알기 위해 x축을 따라가며 10mm 간격으로 단층 촬영한 결과 불순물의 단면의 넓이가 아래 표와 같이 주어졌다.

측정을 더 정확히 하기 위해 7mm 간격으로 단층 촬영을 한 번 더 하여 아래의 표를 얻었다.

불순물의 부피를 가급적 정확하게 얻는 방법을 제안하고 부피를 추정해 보시오.그리고 그 타당성에 대해 논술하시오.

⊙[문제 3] 해설

우선 논제를 해결하기 위해서 논제가 묻고자 하는 것을 정확하게 이해해야 한다.

논제를 잘 읽어 보면 세 가지를 묻고 있다.

불순물의 부피를 정확하게 얻는 방법 제안，불순물의 부피 추정，그리고 그 부피를 구하는 과정에 대한 타당성을 묻고 있다.

이 논제의 핵심은 불순물의 부피를 추정하는 방법을 알고 있는가이다.

그러면 우리가 교과서에서 이런 비슷한 개념을 배운 적이 있는가? 단순하게 중학교 때 배웠던 다면체나 회전체의 부피를 구하는 방법과 최근에 배웠던 적분이 있다.

특히 정적분에서 회전체의 부피를 계산하는 방법을 배웠다.

그 정적분의 계산의 핵심이 무엇이었나? 회전체를 잘게 자른 단면이 원이었고，그 원기둥을 차곡차곡 쌓아올려 전체 부피를 계산했다.

이것이 이 논제를 해결하기 위한 핵심이다.

이 논제는 여러분이 적분의 개념을 잘 알고 있는지，그 중에서 구분구적법을 제대로 알고 현실의 문제에 적용하는 수리적 모델링에 관한 문제이다.

적분의 더 자세한 개념은 여러분의 몫으로 돌리고 이 논제와 유사한 수능 문제를 생각해 보자.

다음은 정적분(적분 수식)의 근사값의 오차의 한계를 구하는 과정의 일부이다.

그림 ㈎，㈏와 같이 폐구간 [0，1]을 등분하여 얻은 n개의 직사각형들의 넓이와 합을 각각 A,B라 하자.A-B≤15가 되는 n의 최소값은?

①6 ②7 ③8 ④9 ⑤10

구분구적법은 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하기 위하여 균등하게 구간을 분할하고 외접 또는 내접하는 직사각형으로 넓이를 구하는 방법이다.

물론 유한개의 외접하는 직사각형과 내접하는 직사각형으로 근사한 넓이는 위의 문제처럼 다르다.

그러나 무한개로 분할한 직사각형의 넓이의 합으로 생각할 때는 외접하는 것과 내접하는 것의 차이는 없다.

물론 고등학교 수학에서 다루는 구분구적법에 한해서이다.

이 수능 문제에서는 유한개의 분할에 의해 생긴 외접하는 직사각형들의 넓이와 내접하는 직사각형들의 넓이의 차이를 정적분의 근사값의 오차의 한계로 생각하고 문제를 해결할 수 있는지를 묻고 있다.

조금만 생각하면 어렵지 않게 해결할 수 있다.

그러면 이 문제가 어떤 면에 있어서 우리가 해결해야 하는 논제와 비슷할까?

논제의 세 가지 질문 중 불순물의 부피를 정확하게 얻는 방법으로 이 문제와 유사한 방법을 제안할 수 있다.

이 문제에서 구간을 유한개의 분할로 생각한 것과 외접 또는 내접의 직사각형으로 넓이를 정적분의 근사값으로 생각한다는 것이 해결해야 하는 논제와 비슷하다.

우선 불순물의 정확한 부피를 구하기 위해서는 주어진 정보보다 더 많은 정보가 필요하다.

'측정을 더 정확히 하기 위해 7mm 간격으로 단층 촬영을 한 번 더 하여 아래의 표를 얻었다'라는 제시문의 표현처럼 더 정확히 하기 위해서 7mm 간격보다 더 짧게 단층 촬영하여 정보를 얻어내야 한다.

이렇게 얻어낸 정보는 아래 그림처럼 더 많은 단면적의 정보를 주며 간격이 짧으면 짧을수록 정적분을 이용해 회전체의 부피를 구하는 방법과 유사한 방법으로 보다 더 정확하게 부피를 구할 수 있다.

그러면 실제 주어진 정보를 가지고 불순물의 부피를 추정해 보자.위에서 말했듯이 더 많은 정보가 있으면 더 정확하게 부피를 구할 수 있으므로 주어진 두 개의 정보를 통합해 보자.

그런데 이 표에서는 각 특정 위치의 정보만을 갖고 있을 뿐，위치와 위치 사이는 어떻게 될지 알 수 없다.

그래서 위치와 위치 사이의 모양을 원기둥이라 가정해 보자.이 원기둥의 밑면의 넓이는 각 위치의 단면적으로，높이는 이 구간의 길이로 생각하겠다.

그리고 각 구간별 부피를 구하는 구체적인 방법을 다음과 같이 제안해 보자.

불순물의 부피 = {(구간의 길이)×(그 구간의 단면적)}의 총합

예를 들어 x축 단면 위치 0mm와 7mm 사이에서는 단면적을 어떻게 생각해야 할까?

양끝 값이 0mm2와 2mm2이므로 중간값 정도를 이 구간의 단면적이라 생각할까?

혹，이 생각에 문제는 없을까?

0mm2와 2mm2 사이에 다른 단면적이 있지 않을까?

이런 가능성은 타당성 부분을 논술할 때 다시 생각해 보자.

여기서는 주어진 정보에만 의존해서 단면적을 생각해 보자.

즉，구간 0mm에서 7mm 사이에서 단면적의 최소값은 0mm2 와 최대값은 2mm2 라 생각해 보자.

그러면 이 두 가지 값 중에서 하나를 선택해야만 한다.

이것은 구분구적법에서 배웠던 개념이다.

다음 그림은 각 구간 사이의 단면적의 최소값과 최대값을 표시한 것이다.

안 보였던 동전이 보이는 것은 컵 바닥도 그만큼 떠 보인다는 것을 의미한다.

비슷한 형상으로 얕아 보이던 연못에 들어가 보면 밖에서 생각했던 것보다 더 깊다는 것을 알 수 있다.

모든 파동은 전파 속도가 다른 두 매질의 경계면에 수직으로 들어오면 그대로 직진하지만 비스듬히 들어와 경계면을 지날 때에는 그 진행 방향이 꺾인다.

이와 같이 파동이 경계면에서 진행 방향이 변하는 현상을 파동의 굴절이라고 한다.

파동의 굴절은 두 매질에서 파동의 전파 속도가 다르기 때문에 나타나는 현상이다.

[나] 빛이 어떤 지점에서 나와 다른 지점으로 갈 때는 가장 짧은 시간에 갈 수 있는 경로로 간다.

이것이 광학에서의 '페르마의 법칙'이다.

물 속에 있는 물체가 흔히 굽어 보이는 것은 빛이 최단 시간의 경로로 간다는 페르마의 법칙에 의한 것이다.

물 속에 있는 물체 A에서 나온 빛이 공기 중의 지점 B에 이르는 경로를 A→P→B라고 할 때，이 경로가 최단 시간의 경로가 되기 위하여 물과 공기 중의 빛의 속도를

각각 v1 ,v2 라 하면，소요 시간 t는 다음과 같다.

소요 시간 t는 이동 거리의 함수이므로 x의 함수이기도 하다.

t가 최소값을 가지기 위해서는 dt/dx=0 이어야 한다.

―고등학교 미분과 적분(중앙교육진흥연구소 127쪽)

⊙[논제] 제시문 (가)에서 안 보였던 동전이 보이는 이유를，제시문 (나)의 입사각과 굴절각의 관계를 가지고 설명하시오.

⊙[해설] 제시문 (가)에서 안 보였던 동전이 보이는 이유는 빛의 굴절 때문이다.

물의 밀도가 공기의 밀도보다 크므로 물에서 나온 빛은 제시문 (가)의 그림처럼 굴절해서 관찰자의 눈으로 볼 수 있는 것이다.

즉，제시문 (나)의 그림에서 입사각이 반사각보다 작기 때문에 이와 같은 현상이 일어난다.

이것을 페르마의 법칙을 이용하여 다음과 같이 확인해 보겠다.

제시문 (나)의 t가 최소값을 가지기 위해서 dt/dx=0 이므로 이것을 이용하여 다음과 같은 관계식을 얻어낼 수 있다.

sin θ1/v1=sin θ2/v2

공기에서 빛의 속도는 물에서 빛의 속도보다 빠르므로 v2=kv1 (k＞1)이다.

이것을 이용하여 위의 등식을 다시 정리하면 다음과 같다.

sin θ2=ksin θ1

즉，굴절각 θ2 가 입사각 θ1보다 크다.

따라서 안 보였던 동전이 컵에 물을 채우면 보이는 것이다.

유경호 S·논술 선임연구원 ryoo8001@nonsul.com