생글생글

학습 길잡이 기타

수술 없이 몸 속 결석 분쇄, 타원의 성질 이용했죠

얼마 전 지인이 신장결석으로 고생한다는 이야기를 들었습니다. 신장의 결석을 빼내기 위해 수술을 해야 하느냐고 물었더니, 체외충격파 쇄석술이라는 치료를 하면 수술을 하지 않아도 된다고 했습니다. 그 방법이 신기해 알아보니 이 치료법에 이차곡선 중 타원과 빛의 성질에 관한 수학적 원리가 담겨 있었습니다.이 치료법에는 체외충격파 쇄석기라는 장치가 사용됩니다. 이 장치는 몸속에 생긴 결석을 수술하지 않고 제거할 수 있게 해주는데, 이 장치에서 반사경의 단면 모양은 타원의 일부분입니다.타원은 평면 위의 서로 다른 두 점 F와 F에서의 거리 합이 일정한 점들의 집합이고, 두 점 F와 F′을 타원의 초점이라고 합니다. 결석이 타원의 한 초점에 오도록 맞추고 다른 초점에서 충격파를 발생시키면 반사경에 반사된 충격파가 결석에 모여 신체 조직에 손상을 주지 않으면서 결석을 분쇄합니다. 이에 관한 수학적 원리를 알아봅시다.오른쪽 그림과 같이 두 초점이 F, F인 타원 위의 한 점 P에서 접선 ℓ을 그을 때 접선 ℓ이 두 선분 FP, FP와 각각 이루는 각 θ1과 θ2가 같아짐을 보이면, 초점 F를 출발하여 점 P에서 반사되는 빛은 입사각과 반사각이 같아지므로 초점 F을 지나는 것을 알 수 있습니다.이를 설명하기 위해 초점 F를 접선 ℓ에 대하여 대칭이동한 점을 F이라 하고, 접선 위의 또 다른 점 Q를 잡읍시다. 이때 이고, 두 초점에서 타원 위의 점까지 거리의 합은 항상 일정하므로 입니다. 따라서 … ①이 성립합니다.한편 점 F은 점 F을 접선 ℓ에 대해 대칭이동한 점이므로 이고, 이를 식 ①에 대입하면 입니다. 즉 두 정점 F과 F에서 접선 위의 임의의 점까지 거리의