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진학 길잡이 기타

사이값정리의 실전 적용방법

사이값정리는 닫힌구간에서 연속일 때만 사용할 수 있는 기본 공리이다. 그러나 예시논제와 같이 열린구간에서만 정의된 함수에 대해 적용해야 할 때가 있다. 이때 적용할 수 있는 두 가지 방법을 살펴보기로 하자. 두 가지 모두 실전에서 유용하게 쓰일 수 있으므로 활용법을 잘 익혀둘 필요가 있다. ☞ 포인트수리논술에서는 대학수학능력시험과 달리 형식적인 면에서 비교적 자유로운 방식으로 출제된다. 즉 문제 출제와 풀이 방식에 있어서 다양한 해석과 접근 방법이 가능하다는 뜻이다. 예시 논제에서와 같이 교과 과정에서 배운 내용을 그대로 적용할 수 없는 형태의 문제가 주어질 때 이에 대한 다양한 접근 방식과 풀이가 가능하고, 답안의 논리성만 인정되면 부분 점수를 충분히 받을 수 있다. 따라서 문제 해결에 대한 다양한 접근 방법을 고민해 보고 이를 자유롭게 적용하는 연습이 필요하다.

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문제해결의 첫 단추 - 귀납적 추론

‘귀납적 추론’이라고 하면 뭔가 엄밀한 추론 방법을 떠올리기 쉽지만 실상은 우리가 일상적으로 시도해 보는 방법이다. 즉, 쉽게 말해 n=1, 2, 3,… 등을 차례로 대입하여 규칙을 파악해 보는 것이다. 이렇게 파악된 규칙을 증명으로 보완하면 앞에서 몇 차례 다루었던 수학적 귀납법에 의한 증명 논제가 되며, 그 자체로도 고난도 논제의 첫 문제 해결의 단초를 제공하는 유용한 추론 방법으로서 역할을 하게 된다. ☞ 포인트실제 현상의 관찰을 통해 규칙을 파악하여 하나의 가설을 세우고 그 가설을 검증하는 일련의 과정으로부터 모든 과학의 기본 체계가 세워지게 된다. 수리논술 논제에서도 n=1, 2, 3,… 등을 차례로 대입해보는 시도로부터 문제 해결의 과정이 시작되게 된다. 언뜻 보면 단순해 보이지만 난도가 높을수록 문제 해결의 실마리는 가장 기본적인 것에서 시작하게 됨을 기억해야 한다.

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순간변화율과 평균변화율

순간변화율(=변화율)은 미분계수(=접선의 기울기)이고, 평균변화율은 두 점을 이은 선분의 기울기이므로 일반적으로 서로 같지 않지만 직선일 때는 두 값이 일치한다. 즉, 일반적인 곡선 함수에서 접선의 기울기는 계속 바뀌므로 일정하지 않지만 직선일 때는 접선의 기울기가 일정함을 쉽게 이해할 수 있다. 이렇듯 미분 개념을 수식으로만 익히는 것이 아니라 그래프적인 의미로도 이해할 수 있어야 논제를 다양한 방식으로 해결할 수 있다. ☞ 포인트수리논술은 완전 서술형 시험이므로 개념과 정의, 그리고 용어를 정확히 이해하고 구분해서 사용할 수 있어야 한다. 특히 미분 개념은 엄밀한 정의에 의해 정확한 수식을 사용하는 것이 필수적으로 요구되지만, 미분 개념이 적용되는 실제의 기하학적인 의미로도 이해하고 접근할 수 있어야 한다. 하나의 개념을 여러 방식으로 표현하고 이해하는 학습, 즉 다면화된 접근 방식의 학습을 통해 더 다양한 유형의 논제를 효과적으로 해결할 수 있다.

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인수정리와 다항함수의 미분

인수정리는 고1 <수학>과정에서 배웠던 쉽고 평이한 개념이지만 정작 논증추론 즉, 증명문제로 출제됐을 때 답안을 어떻게 써야 할지 막막해 하는 경우가 많다. 논술 훈련이 충분치 않은 경우 대개 개념을 알고는 있지만 이를테면, 어디까지를 기존 지식으로 활용하고 어디서부터 추론 과정으로 작성해야 할지 판단을 내리기가 쉽지 않다. 이 논제를 통해 이와 같은 판단 지점을 살펴보고 최대한 접근 가능한 심층적인 이해를 통해 논제를 올바르게 파악해 보자. ☞ 포인트논증 추론, 즉 증명 문제에서 어디까지를 기존 지식(공리)으로 활용하고 어디서부터 증명해야 할지를 판단해야 할 경우가 있다. 이때의 판단 포인트는 결론으로 이어지는 큰 흐름에 집중하는 것이다. 예를 들어 결론에 이르는 큰 흐름 A→B→C가 있고 A, B, C 각각을 이루는 작은 하위 개념들이 있다면 작은 하위 개념들은 공리로서 언급만 하면서 A→B→C의 큰 흐름 위주로 답안을 작성한다면 간결하면서도 좋은 점수를 받을 수 있다.

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최솟값 문제의 미분과 기본도형의 활용

수리논술에서 최솟값을 구하는 문제는 대부분 미분법의 계산에 의하지만, 동시에 기본도형의 활용으로도 해결할 수 있는 논제를 출제하는 경우가 많다. 이를 위해서는 중학교에서 배운 원과 삼각형 등 기본도형의 성질을 복습하고 잘 숙지해야 한다.수리논술의 특성상 논제는 어렵지 않으나 계산의 집중력을 요구함으로써 변별력을 부여하는 경우가 많다. 특히 몫의 미분법 안에서 무리함수나 삼각함수 등 다양한 형태의 식을 미분하는 경우가 그런 예다. 이때 반복되는 중요한 형태의 식에 대한 미분 계산을 평소에 익혀두면 도움이 될 때가 많다. 수리논술 고사 시간이 90분 또는 100분으로 비교적 짧게 주어지는 대학이 상당수 있으므로 평소에 계산 집중력을 기르는 훈련을 꾸준히 할 필요가 있다.

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다항함수와 역함수의 미분법

 ☞ 포인트최근 수리논술의 출제경향을 보면 대학수학능력시험 수학과의 연계성을 높이는 방식으로 출제되고 있으며, 이 문제도 수능 수학 가형의 난이도 높은 4점짜리 문제와 거의 유사하다는 것을 볼 수 있다. 그럼에도 불구하고 논리적인 서술과정으로 답안을 작성해야 하는 수리논술의 본질적인 특성은 변하지 않으므로 수리논술을 처음 시작하는 학생들은 일정 부분 논술에 적응하는 기간을 거쳐야 한다. 이 적응 기간을 거치면 수능 공부가 논술의 기초가 되고 다시 논술 공부를 통해 수능 고득점 문제에 대비할 수 있게 된다. 수리논술을 대비하려는 수험생은 수능과 논술과의 이러한 상관 관계를 잘 이해하고 학습해야 한다. 역함수의 미분법은 변별력이 요구되는 문항에서 특히 출제비중이 높은 주제이다. 증명과정도 숙지하고 있어야 하며 이 문제에서처럼 다항함수와 연계되어 출제되었을 때 수능문제 풀이 방식과 거의 유사하게 결과적인 공식으로서의 활용 능력도 매우 중요하다.