생글생글

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함수는 세상의 관계·변화 이해하는 도구 [재미있는 수학]

중학교에서 처음 배우는 함수는 보통 이렇게 시작합니다. 그리고 선생님은 말합니다. “ 에 어떤 수를 넣으면, 그에 따라 값이 하나로 정해지는 관계를 함수라고 합니다.” 학생들은 고개를 끄덕입니다. 그리고 이렇게 생각하죠. “아, 함수는 식이구나.” 그런데 정말 그럴까요?사실 고대 사람들도 함수와 비슷한 생각을 했습니다. 천문학자들은 날짜에 따라 달라지는 별의 위치를 표로 정리했습니다. 날짜를 넣으면 위칫값이 하나 나옵니다. 입력을 하면, 결과가 나오는 것이죠. 하지만 그들은 이것을 ‘함수’라고 부르지 않았습니다. 함수는 이미 존재하고 있었지만, 아직 이름을 얻지 못한 상태였습니다.17세기, 데카르트는 좌표평면을 도입합니다. 그리고 곡선이 식으로 표현되기 시작했죠. 직선은 원은 과 같은 식들입니다. 그리고 18세기, 오일러는 라는 기호를 사용하기 시작합니다. 함수는 점점 사람들에게 ‘식’으로 인식되게 됩니다.그런데 여기서 현대의 함수가 가지는 중요한 약속을 하나 들여다봐야 합니다. 바로 하나에 하나가 나온다는 점이죠. 왜 꼭 하나여야 할까요?예를 들어 을 넣었더니 가 7이기도 하면서 동시에 10이기도 하다면 어떻게 될까요? 그럼 이런 질문이 나오지 않을까요? “그래서 3을 넣으면 도대체 뭐가 나오는 거지?”함수를 자판기처럼 생각해 보면 쉽습니다. 동전 하나를 넣으면 음료 하나가 나옵니다. 그런데 동전 하나를 넣었더니 콜라도 나오고 사이다도 동시에 튀어나온다면? 이게 유용할까요?그 기계는 예측할 수 없습니다. 수학은 예측 가능성을 중요하게 생각합니다. 같은 입력에서 결과가 항상 같아야 계산도 할 수 있고, 그래프도 그릴

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항공사들, 거점 공항 그래프로 연결해 효율 극대화하죠 [재미있는 수학]

여러분이 비행기를 타고 해외로 떠날 때 혹은 스마트폰으로 보고 싶은 영상을 추천받을 때 그 뒤에서 어떤 일이 벌어지는지 생각해본 적이 있나요? 우리가 살아가는 세상은 눈에 보이지 않는 수조 개의 선으로 촘촘하게 엮인 거대한 그물망과 같습니다. 수학동산의 놀이기구를 연결하던 가중치 그래프의 원리는 지금 이 순간에도 여러분의 하늘길을 설계하고 취향을 분석하며 일상을 더 편리하게 만들고 있습니다. 과연 수학은 어떻게 우리 삶의 복잡한 연결 고리들을 완벽하게 관리하고 있을까요? 그 비밀을 지금 바로 확인해 보겠습니다.자 이제 고개를 들어 푸른 하늘을 가로지르는 비행기들의 비밀스러운 길을 함께 살펴볼까요? 수만 킬로미터 상공에서 펼쳐지는 항공기 운항 경로의 거대한 마법은 바로 그래프 이론에서 시작됩니다. 전 세계 수많은 공항을 하나의 점으로 정의하고 그 사이를 잇는 하늘길을 선으로 연결하면 거대한 지구촌 네트워크 그래프가 완성됩니다.이때 수학은 단순히 두 지점 사이의 직선거리를 재는 것에 그치지 않습니다. 비행기는 상공에서 불어오는 강력한 제트기류의 방향을 확인하여 뒤에서 밀어주는 바람을 타고 연료 소모를 줄이거나 거대한 난기류가 예고된 폭풍우 지역을 멀리 우회하는 복잡한 계산을 매 순간 수행해야 합니다. 또한 특정 국가의 영공을 지날 때 지불해야 하는 막대한 통행료나 전쟁과 같은 갑작스러운 사고로 폐쇄된 비행 금지 구역까지 고려해 가장 경제적이고 안전한 가중치를 계산해냅니다.항공사들은 이 그래프를 활용해 허브 앤드 스포크라는 전략적 구조를 설계하기도 합니다. 특정 거점 공항을 중심점으로 삼아 연결 효율을 극대화하는 이 방

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함수의 그래프만으로 눈사람 그리는 방법

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'통계의 함정' 주의…그래프 볼 땐 목적 파악해야

지난 생글생글 907호의 ‘재미있는 수학’에서는 자료의 특성에 따라 목적에 맞는 적절한 그래프를 선택하는 방법에 대해 알아보았습니다. 이번에는 그래프의 왜곡을 예를 통해 알아봅시다.인터넷이나 텔레비전, 신문 등에서 쉽게 접할 수 있는 그래프는 자료를 시각적으로 보여줘 자료를 숫자나 표로 나타낸 것보다 훨씬 알아보기 쉽습니다. 하지만 잘못 사용하면 사실을 왜곡해 판단 오류가 발생할 수 있으므로 통계자료를 해석할 때는 신중해야 합니다.[그림1]은 2019년 모 방송국의 시사교양 프로그램에 나와 화제가 된 원그래프의 사례를 다른 주제로 새롭게 각색한 것입니다. 얼핏 그래프만으로는 쟁점이 있는 사항의 찬성과 반대 입장이 팽팽한 듯 보입니다. 하지만 각 항목의 수치를 보면 그렇지 않다는 사실을 알 수 있습니다. 찬성:반대가 82.9%:12.6%이므로 그래프를 이렇게 그려선 안 됩니다. 원그래프에서는 각 항목의 비율에 맞게 부채꼴의 중심각 크기가 정해져야 합니다. 예를 들어 찬성 비율이 82.9%이니 찬성을 나타내는 부채꼴의 중심각 크기는 가 되어야 합니다. 이를 비율에 맞게 부채꼴의 중심각 크기를 정확히 계산해 나타내면 [그림2]와 같아야 합니다.그래프를 왜곡해 잘못 해석되는 경우는 왜 생겨날까요? 이는 그래프를 그리는 사람이 의도적으로 사실을 왜곡했을 수도 있고, 통계적 소양이 부족했기 때문일 수도 있습니다. 그래서 우리는 통계를 제대로 배워야 하고, 그래프를 그리거나 해석할 때 왜곡 현상이 일어나지 않도록 유의해 표현하고 신중하게 관찰해야 합니다. 특히 그래프를 보고 해석할 때는 그림뿐 아니라 수치까지 꼭 확인하는 습관을 들여야 합니다.또 다른 사례로 [

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상황 변화를 직관적으로 전달하죠

수학에서 그래프를 그리는 것과 그려진 그래프를 이해하는 것은 둘 다 매우 중요합니다. 두 과정은 마치 그리는 사람과 이해하는 사람 사이에서 이루어지는 의사소통과 같다고 할 수 있습니다. 그래프는 수학적 개념이나 상황을 시각적으로 표현한 것이므로, 상황을 빠르고 정확하게 공유하는 데 아주 유용한 도구가 됩니다.예를 들어, 큰 그릇에 물을 담는 상황을 생각해보겠습니다. 일정한 속도로 물을 담다가 중간에 더 빠른 속도로 물을 붓는다면, 이 변화 과정을 그래프로 나타낼 수 있습니다.그런데 여기서 어떤 것을 중점으로 두고 표현하느냐에 따라 그래프의 모습이 달라질 수 있습니다. 일반적으로는 시간의 흐름에 따라 물이 차오르는 높이의 변화에 초점을 맞출 겁니다. 그렇게 되면 처음에는 우상향하는 직선의 모습으로 그려지다가 어느 순간 기울기가 큰 직선 모양으로 바뀌겠죠.하지만 조금 특이한 경우에는 물의 높이보다 그 순간에 쏟아지는 물의 양을 기준으로 할 수도 있습니다. 이 경우 그래프는 어떻게 될까요? 앞서 말했듯 일정한 속도로 물을 담는다는 것은 순간에 쏟아지는 물의 양이 일정하다는 의미이므로, 그래프는 처음 어느 정도까지는 위로도 아래로도 움직이지 않고 평평한 모양으로 그려질 겁니다. 그러다 어느 순간 더 빠른 속도로 물을 부을 때 순간적으로 그래프는 더 위로 올라간 뒤 역시 그 지점에서 평평한 모양이 지속될 것이라고 생각할 수 있겠죠.이를 굳이 말로 설명하지 않고 그래프로 하면 어떤 차이가 있을까요? 그래프를 그리는 사람과 보는 사람이 그래프에 대한 이해가 충분하다면 처음에 말한 대로 상황을 빠르면서도 정확하게 전달할 수 있습니다. 글로 표현