생글생글

재미있는 수학

출제오류 지적했다가 복수정답 처리된 전설의 수능문제 [재미있는 수학]

수학 문제를 풀다 보면 이상한 순간을 만납니다. 공식도 맞고 계산도 틀리지 않은 것 같은데 답이 틀리는 경우입니다. 그럴 때 우리는 흔히 “계산 실수겠지” 하고 넘깁니다. 하지만 영화 ‘이상한 나라의 수학자’는 조금 다른 질문을 던집니다. 정말 문제를 제대로 읽었을까요? 내가 구한 답은 정말 가능한 답일까요?영화에서 가장 인상적인 장면은 ‘존재할 수 없는 직각삼각형’ 문제입니다. 빗변의 길이가 10인 직각삼각형에서 직각인 꼭짓점에서 빗변에 내린 높이가 6이라고 합니다. 넓이를 구하라는 말에 주인공 한지우는 곧바로 “10×6÷2=30”이라고 답합니다. 공식도 맞고 계산도 정확합니다. 그런데 영화 속 탈북 수학자 이학성은 답이 맞았다고 하지 않습니다. 오히려 칠판에 직각이등변삼각형과 그 외접원을 그리며 잘 들여다보라고 합니다.이학성이 그린 삼각형에서 빗변은 외접원의 지름입니다. 빗변의 길이가 10이면 반지름의 길이는 5이고 직각인 꼭짓점은 원 위에 놓입니다. 따라서 꼭짓점에서 빗변까지의 거리는 아무리 멀어도 5를 넘을 수 없습니다. 직각이등변삼각형일 때가 거리가 최대(5)인 경우입니다. 하지만 문제에서는 높이가 6이라고 했으니 이 삼각형은 처음부터 존재할 수 없습니다. 진짜 답은 30이 아니라 “그런 삼각형은 존재하지 않는다”입니다.이 장면은 수학에서 공식보다 조건이 먼저라는 사실을 보여줍니다. 공식은 강력한 도구이지만 문제의 조건을 대신 읽어주지는 않습니다. 조건이 모순이면 아무리 정확하게 계산해도 잘못된 결론에 도달합니다. 수학을 잘한다는 것은 공식을 많이 외우는 것이 아니라 답이 나온 뒤에도 “이게

재미있는 수학

동네 술집에 빌 게이츠가 들어오면 내 평균 연봉이 100억 되는 이유 [재미있는 수학]

우리는 늘 수많은 데이터에 둘러싸여 있습니다. 시험 성적표, 배달 예정 시간, 동영상 조회 수까지 다양한 숫자를 마주할 때, 인간의 뇌는 숫자를 직관적으로 처리하는 데 부담을 느낍니다. 올바른 판단을 하기 위해서는 데이터를 제대로 대표하는 값이 무엇인지 알아야 합니다.이 질문에 대응하는 개념이 대푯값입니다. 초등학교 5학년, 중학교 3학년 때 배웁니다. 수백수천 개의 복잡한 데이터 군집을 하나의 숫자로 요약해 전체 특성을 보여주는 개념입니다. 대푯값의 세계에서 절대 왕좌를 지켜온 주인공은 ‘평균’인데요, 정확한 수학적 명칭은 산술평균입니다. 모든 데이터를 다 더한 뒤 그 합을 데이터의 개수로 나누는 가장 직관적이고 친숙한 방식이죠.평균의 장점과 약점평균은 어떤 데이터도 소외시키지 않습니다. 모든 값이 합산 과정에 조금씩이나마 전부 반영됩니다. 평균은 대수적으로 다루기도 좋습니다. A반의 평균과 B반의 평균, 각 반의 학생 수만 알면 두 반을 합친 전체 평균을 쉽게 계산할 수 있습니다. 이러한 특성 때문에 현대 통계학의 표준편차, 분산, 회귀분석 등 주요 이론은 대부분 평균을 기반으로 형성됐습니다.하지만 평균은 극단적인 개별 값에 취약하다는 약점이 있습니다. 다른 데이터와 비교해 터무니없이 차이 나는 값이 하나라도 끼어들면 그 영향을 심하게 받죠. 작은 선술집에 직장인 9명이 앉아 있는데, 이들의 평균 월급은 400만 원입니다. 갑자기 세계적 자산가 빌 게이츠가 동석하게 됐습니다. 통계만 놓고 보면 이곳은 순식간에 억만장자들의 모임처럼 보이지만, 원래 앉아 있던 직장인 9명의 주머니 사정은 1원도 변하지 않았습니다. 평균이 만들어내는 통계적

재미있는 수학

직선만 그렸는데 곡선이 태어났다(feat. 가우디) [재미있는 수학]

“직선은 인간의 영역이고, 곡선은 신의 영역이다.”조개껍데기의 나선, 바람에 깎인 산등성이, 주변에 널린 작은 돌멩이, 가지 끝에 매달린 열매까지 모두 곡선입니다. 곧게 뻗은 듯한 나무도 자세히 보면 미세하게 휘어 있고, 끝없이 펼쳐진 수평선이나 지평선마저도 사실은 지구를 따라 굽은 거대한 곡선의 일부일 뿐입니다. 스페인 바르셀로나에 사는 안토니 가우디는 “곡선이야말로 신이 세상을 빚은 언어”라고 믿었습니다. 그래서 자신에게 주어진 사그라다 파밀리아 성당 프로젝트를 휘어지고 솟아오르며 살아 있는 듯한 곡선으로 설계했습니다.여기엔 묘한 역설이 숨어 있습니다. “곡선은 신의 영역”이라던 가우디가 정작 그 곡선을 가장 정직한 직선으로 빚어냈다는 사실입니다. 휘어진 거푸집도, 곡선을 그리는 특별한 도구도 없이, 그가 손에 쥔 것은 곧게 뻗은 끈과 막대기뿐이었습니다. 인간의 도구인 직선으로 어떻게 신의 곡선을 세울 수 있었을까요. 그 비밀은 두 가지 수학에 있습니다. 하나는 줄을 매달면 저절로 나타나는 곡선이고, 다른 하나는 직선만으로 빚어지는 곡면입니다.평면 위 스트링 아트의 원리를 그대로 3차원으로 끌어올리면 무슨 일이 벌어질까요. 가우디는 이 지점에서 신의 곡선을 인간의 직선으로 번역하기 시작했습니다. 평면 위에서 직선이 곡선을 만들어냈다면 공간에서는 직선이 곡면을 만들어냅니다. 사실 원리는 단순합니다. 곧은 막대 2개를 나란히 세우고 그 사이를 곧은 실 여러 가닥으로 촘촘히 연결해봅시다. 두 막대가 완전히 평행하면 실들이 만들어내는 면은 평평한 평면입니다. 하지만 한쪽 막대를 살짝 비틀거나 기울이면 어떻게

재미있는 수학

수학 망친 고1 모여라🙋‍♂️ 중학교 베이스 없어도 살아남는 현실 조언 [재미있는 수학]

첫 시험을 치른 뒤 ‘역시 나는 수학을 못해’라고 생각하며 낙담한 학생이 많았을 것입니다. 문제집을 펴도 어디서부터 시작해야 할지 모르겠고, 고등학교 수학을 따라가려면 중학교 내용부터 다시 공부해야 할 것 같아 막막하게 느껴지는 학생도 있을 것입니다.지난 생글생글에서 언급한 수학 잘하는 법은 어느 정도 기본기가 있는 중상위권 학생들에게 특히 도움이 되는 공부법이었습니다. 하지만 첫 시험 이후 자신감이 많이 떨어진 학생들에게는 조금 다른 처방이 필요합니다. 지금 필요한 것은 자신이 어디에서 막혔는지 살펴보고, 지금 할 수 있는 것부터 다시 시작하는 일입니다. 어디에서 멈췄는지 찾아야수학이 어려운 학생들은 이렇게 말합니다. “저는 중학교 수학을 몰라서 안 돼요.” 이런 마음에 중1 교과서부터 다시 봐야 할 것 같다며 두려움을 토로합니다. 충분히 이해합니다. 수학은 앞에서 배운 내용이 뒤에서 계속 이어지는 과목입니다. 중학교 때 배운 문자식, 방정식, 함수, 그래프, 인수분해가 약하면 고등학교 수학이 어렵게 느껴질 수밖에 없습니다.하지만 중학교 수학 전체를 처음부터 다시 공부하는 것이 항상 좋은 방법은 아닙니다. 중1 교과서 첫 장부터 다시 시작하면 공부할 양이 너무 많아 보여 시작하기도 전에 지칠 수 있습니다. 현재 배우는 고등학교 내용을 중심에 두고, 막히는 부분이 생길 때마다 필요한 중학교 개념만 찾아 보충하는 공부가 필요합니다.이차방정식을 못 푼다고 해서 중1 수학부터 다시 해야 하는 것은 아닙니다. 실제로는 괄호 풀기, 이항, 다항식의 계산, 인수분해, 음수 계산 중 하나가 약해 막히는 경우가 많습니다. 이차함수가 어렵다

재미있는 수학

"다 맞은 문제집은 당장 버리세요!"…수포자 탈출하는 진짜 수학 공부법 [재미있는 수학]

고교에 입학해 첫 중간고사를 치르고 이제 다음 시험을 향해 달리는 시기, “선생님, 수학을 어떻게 하면 잘할 수 있나요?”라고 묻는 1학년생이 유독 많습니다. 절박함과 동시에 뜨거운 열망이 담긴 이 질문에 답하고자, 그동안 수업 시간에 강조해온 수학 공부 노하우를 생글생글 독자들과 나누려 합니다.메타인지의 중요성누구보다 성실하게 온종일 책상에 앉아 있는데도 도무지 수학 성적이 오르지 않아 고민하던 학생이 있었습니다. 야간자율학습 하는 모습을 가만히 지켜봤더니 원인이 명확했습니다. 자신의 수준보다 한참 낮은, 풀면 무조건 다 맞히는 쉬운 문제만 성실하게 풀고 있었던 것입니다. 채점할 때 동그라미가 가득하면 마음이 편해지고 공부를 많이 했다는 생각이 들 수 있습니다. 하지만 안타깝게도 그것은 착각이고, 실력이 자라나는 진짜 공부가 아니었습니다.수학 공부에서는 쉬운 문제 10문제를 기분 좋게 푸는 것보다, 나의 수준에서 딱 한 단계 높은 문제를 붙잡고 1시간 동안 단 한 문제를 풀기 위해 머리를 싸매는 것이 훨씬 가치 있습니다. 이를 실천하기 위해 필요한 무기가 바로 ‘메타인지(Metacognition)’입니다. 이는 내가 무엇을 알고, 무엇을 모르는지 정확하게 파악하는 능력입니다. 내가 편안함을 느끼는 수준을 객관적으로 바라보고, 모르는 경계선을 냉정하게 짚어낼 수 있어야 진짜 실력이 오르는 공부를 시작할 수 있습니다.살짝 높은 수준의 마법교육학에서는 쉽게 풀 수 있는 문제집만 반복하는 상태를 경계합니다. 러시아 심리학자 레프 비고츠키(1896~1934)는 이를 ‘근접발달영역(ZPD)’이라는 개념으로 설명했습니다. 학습 영역은 혼자서도 다 맞히는 &l

재미있는 수학

우리가 매일 건너는 다리, 알고보니 수학 공식 덩어리🤩 [재미있는 수학]

우리는 매일 수학 위를 걷고, 수학 위를 달린다. 그것이 수학인 줄 모를 뿐이다. 매일 아침 등굣길에 건너는 다리, 버스 창밖으로 스쳐 지나가는 다리. 그 안에는 삼각형의 강체성, 포물선의 원리, 2차함수의 계산이 숨어 있다. 다리는 그냥 강 위에 놓인 길이 아니다. 무너지려는 무게와 버티는 수학이 팽팽하게 맞서는 전쟁터다.퀴즈 하나를 먼저 풀어보자. 삼각형, 사각형, 오각형, 육각형 중에서 가장 튼튼한 도형은? 답은 가장 단순한 삼각형이다. 직접 실험해볼 수 있다. 빨대 4개로 사각형을 만들어 모서리를 눌러보자. 쉽게 찌그러진다. 그런데 빨대 3개로 만든 삼각형은? 다른 도형에 비해 형태가 덜 변형된다. 세 변의 길이가 고정되면 모양이 단 하나로 정해지기 때문이다.그렇다면 이 튼튼한 삼각형으로 어떻게 다리를 지을 수 있을까? 삼각형을 옆으로 반복해 이어 붙여 다리를 만들어보자. <그림 1>은 트러스교다. 다리의 위쪽과 아래쪽을 가로로 잇는 부재를 각각 ‘상부 코드’ ‘하부 코드’라고 한다. 이 두 코드 사이를 수직재와 대각재가 연결하는데, 바로 이 대각재가 삼각형을 만드는 핵심이다. 수직재가 위아래의 힘을 받아주고, 대각재가 비스듬히 버텨주면서 사각형이 아닌 삼각형의 배열이 완성된다. 그리고 양쪽 끝에 서 있는 주탑이 다리 전체의 하중을 땅으로 전달한다. 결국 트러스교는 삼각형을 촘촘히 이어 붙여, 어느 한 점에 무게가 실려도 구조 전체가 이를 나눠 갖도록 설계한 것이다.그런데 트러스교에는 한계가 있다. 다리가 길어질수록 트러스 자체가 무거워지고, 자기 무게를 감당하기 어렵다. 그래서 사람들은 완전히 다른 발상을 했다. ‘다리를 매달아보면

재미있는 수학

"존재하지도 않는 허수, 대체 왜 배우죠?"…화가 난 수포자를 달래봅시다 [재미있는 수학]

얼마 전 고교 1학년 공통수학1에서 복소수 단원을 수업할 때였습니다. 제곱해서 -1이 되는 수, 눈에 보이지 않고 실생활에서 손에 잡히는 수도 아닌 ‘상상의 수(Imaginary Number)’를 마주한 학생들의 표정은 당혹감 그 자체였습니다. “선생님, 존재하지도 않는 수를 대체 왜 배워야 하나요?” 이런 질문을 받을 때마다 저는 소설 <박사가 사랑한 수식>을 떠올립니다. 이 작품은 수가 단지 계산을 위한 기호가 아니라, 사람과 사람을 잇고 세상을 새롭게 바라보게 하는 언어일 수 있기 때문입니다.2004년 요미우리 소설상과 제1회 서점대상을 수상한 이 소설의 주인공 ‘박사’는 한때 촉망받던 수학자였습니다. 하지만 불의의 사고로 기억이 딱 80분간만 지속되는 병을 앓고 있습니다. 80분이 지나면 그의 기억은 깨끗하게 지워집니다. 그런 박사가 세상과 소통하기 위해 선택한 유일한 언어가 바로 ‘수학’입니다.박사의 집에 새로 온 ‘가정부(나)’와 그녀의 열 살짜리 아들은 숫자를 통해 박사의 마음속으로 들어갑니다. 매일 아침 기억을 잃은 박사에게 자신을 다시 소개해야 하는 상황에서도 그들은 숫자가 가진 따뜻한 온기에 기대어 80분이라는 한계를 넘어선 깊은 유대감을 쌓아갑니다.박사는 누군가와 대화를 시작할 때 신발 사이즈나 전화번호를 묻곤 합니다. 그것은 단순한 호구조사가 아니라, 상대방의 존재를 수학적 의미로 받아들이려는 그만의 다정한 인사법입니다. 어느 날 박사는 가정부의 생일인 2월 20일을 세 자릿수로 표시한 220과 자신이 대학 시절 논문상으로 받은 손목시계의 번호가 ‘284’라는 것을 발견하고 깊이 감동합니다. ‘우애수(Amicable Numbe