[박선후 선생님과 함께 사고치는 수학여행] (27) 황금비

수열; 1 1 2 3 5 8 13 21

비(比);

계산기를 사용하여 이 비를 소수로 나타내 보세요.

뭔가 짚이는 게 없나요？ 임의의 두 수에서 시작하여 '앞의 두 수의 합이 다음 수'라는 규칙을 적용해 새로운 피보나치수열을 만들어 보세요.

그리고 다시 비를 계산해 봅시다.

예를 들어 2와 9로 시작한다면

수열; 2 9 11 20 31 51 82 133

비(比);

위 두 결과로 무엇을 알 수 있나요？ (질문 1)

와

가 같게 되도록 선분 AB를 내분하는 점 P를 만들고자 했던 것이죠. 위에서 나타나는 선분의 비를 황금비라 합니다.

그 값은 얼마인가요？ 직접 계산해 보세요. (질문 2)

또 놀랍게도 정오각형 한 변의 길이와 대각선 길이의 비는 황금비를 이룹니다.

이 사실을 이용하면 자와 컴퍼스만으로 정오각형을 작도할 수 있습니다.

어떻게 하면 가능할까요？ 설명해보세요. (질문 3)

놀랍게도 가로와 세로가 황금비를 이루는 직사각형에서 긴 변을 잘라 하나의 정사각형과 하나의 직사각형을 만들면, 새로 생긴 직사각형의 가로와 세로 역시 황금비를 이루게 됩니다.

확인해보세요. (질문 4)

심리학자들은 사람들이 가로와 세로의 비가 황금비를 이루는 직사각형을 가장 좋아한다는 사실을 알아냈고,또 예술가나 건축가는 그림이나 건물을 디자인할 때 황금비를 많이 적용합니다.

피보나치 수열의 규칙을 응용하여 다른 새로운 규칙을 만들어 재미있는 수열을 얻을 수도 있습니다.

예를 들면 먼저 두 수를 정한 다음,이전 수에다 다시 그 이전 수의 두 배를 더하여 다음 수를 정함으로써 아래와 같은 수열을 만들 수 있습니다.

1 1 3 5 11 21 43 85 …

앞에서와 같이 연속한 두 항의 비를 계산해 보세요.

어떤 사실을 알 수 있을까요？ (질문 5)

박선후 S·논술 청담학원 부원장 suri@nonsul.com