[박선후 선생님과 함께 사고치는 수학여행] (23) 행렬로 떠나는 여행

행렬을 이용하여 수학의 세계를 여행해 봅시다. 그곳은 좌표가 (0, 0) (1, 0) (2,0 ) (0, 1) (1, 1) (2, 1) (0, 2) (1, 2) (2, 2)인 아홉 개의 점만 존재하는 2차원의 세계이며, 오직 행렬을 이용하여 점 (1, 0)에서 시작해서 한 점에서 다른 점으로 옮겨 다닐 수 있습니다. 이때 연산은 3진법으로 이루어집니다.

예를 들어 행렬

은 아래 그림에서 보듯이 ，

즉 (1, 0)을 (1, 2)로 보냅니다. 다음 (1, 2)는

에서 보는 것처럼 (1, 1)로 가고, 곧 (1, 0)으로 돌아옵니다.

행렬

은 이처럼 제한된 부분만 옮겨 다니게 하는데 행렬

은 점(1, 0)으로 돌아오기 전에 (0, 0)을 제외한 모든 점을 한 번씩 거치게끔 합니다.

이 세계를 두루 여행하게 해 줄 다른 행렬을 찾아봅시다.

[질문 1]

만약 이를 수행하는데 성공했다면 (0, 0)에서 (4, 4)까지 25개의 점으로 구성되어 있는 세계에서 본래의 점으로 돌아오기 전에 원점이 아닌 다른 24개의 점을 모두 거치게끔 해주는 행렬을 찾아보세요.

그러나 이번에는 5진법으로 연산을 해야 합니다.

[질문 2]

점(0, 0, 0)에서 (2, 2, 2)까지의 27개의 점으로 이루어진 삼차원의 세계를 행렬을 이용하여 3진법 연산으로 여행해 보고, 이어서 점 (0, 0, 0, 0)에서 (1, 1, 1, 1)까지 16개의 점으로 이루어진 4차원의 세계를 행렬을 이용하여 2진법으로 여행하는 것은 가능할지 설명해보세요.

[질문 3]

▶참고=여기서 말하는 n진법이란 우선 일반적인 계산법을 적용하고, 그 결과를 n으로 나누었을 때 생기는 나머지만 쓰도록 하는 방법을 말합니다.

박선후 S·논술 청담학원 부원장 suri@nonsul.com