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함수의 연속성·미분 가능성을 정의하는 토대

문과와 이과를 구분할 수 있는 단어가 몇 가지 있다. 그중 하나가 limit이다. 문과는 ‘제한하다’로, 이과는 ‘극한’으로 번역한다. 대부분의 학생은 극한의 개념을 쉽게 받아들인다. 하지만 엄밀한 극한의 개념은 대학 과정에서 배운다. 극한의 정의는 대학교 수학과 학생들도 명확히 이해하기 어려울 정도기 때문이다. 그런데도 고등학교에서 극한을 배우는 이유는 무엇일까. 극한은 왜 필요한 것일까. 극한이 도입된 계기는 미분 때문이다. 미분의 창시자로 여겨지는 17세기 뉴턴과 라이프니츠는 각각 다른 배경에서 다른 개념으로 극한을 도입했다.극한(limit)은 어떤 함수가 특정한 점에 접근할 때 그 함수의 값이 어떻게 변하는지를 나타내는 개념이다. 쉽게 말해, 함수의 값이 어떤 점에 한없이 가까워질 때 그 값이 얼마인지 알아내는 것이다. 함수 f(x)가 존재한다고 하자. x가 어떤 값 a에 가까워질 때 그 함숫값이 L에 가까워진다면, 우리는 f(x)f의 극한을 L이라고 한다.뉴턴은 사과가 떨어지는 현상에서 착안해 중력과 만유인력을 포함한 역학을 설명하기 위해 미분의 개념을 도입했다. 많은 물체는 곡선으로 움직이는데, 이를 아주 짧은 시간 간격으로 나누어 생각하면 그 움직임이 직선으로 변한다. 뉴턴은 이러한 움직임을 정의하기 위해 미분을 도입했고, 이를 통해 극한의 개념을 직관적으로 설명했다. 뉴턴은 극한의 개념을 사용해 미분을 정의하고, 이를 통해 물체의 운동을 분석했다. 비록 뉴턴의 극한에 대한 정의는 오늘날의 엄밀한 정의와 차이가 있지만, 그는 물리학적 문제를 해결하기 위해 유율(fluxions)이라는 개념을 사용했다.어떤 함수의 그래프에서 두 점을 연결하면 두 점 사