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고교수학과 대학수학의 차이점은 '증명의 중요성'

저는 경제학 전공으로 대학에 입학해 수리과학을 부전공하고 있습니다. 수리과학을 부전공하면서 느낀 중고등학교 수학과 대학 수학의 가장 큰 차이점은 ‘증명의 중요성’입니다.중고등학교에서 수학 공부는 문제 풀이와 채점의 연속입니다. 대부분의 문제는 공식을 활용해 계산할 것을 요구하죠. 대학에서 수학은 공식 활용보다 공식과 명제를 증명하는 것을 중시합니다. 고등학교에서도 증명의 한 방법인 귀류법과 수학적 귀납법을 배우기는 하지만, 관련된 문제는 수능에서 고작해야 4점밖에 되지 않습니다. 반면 대학에서는 산수의 중요성이 100점 만점에 4점 정도로 낮아지고, 증명 능력의 비중이 96점으로 높아집니다.따라서 수학 문제 풀이가 재미있어서 적성에 맞는다고 느껴 수학과에 진학하고 싶은 학생이라면 한 번쯤 다시 고민해보는 것이 좋을지도 모르겠습니다. 공식을 활용한 문제 풀이를 즐거워하는 성향은 수학자보다 공학자의 자질에 더 가깝습니다. 공학 계열 학과에서 개설하는 수학 과목이나 수학과의 비전공생용 수업을 수강하면 고등학교 때와 비슷하게 문제 풀이에 치중한 강의를 들을 수 있을 것입니다.수리과학에 관심이 있다면 해석개론을 미리 공부해보기를 추천합니다. 해석개론은 서울대 기준 2학년 과목이고, 졸업하기 위해 반드시 들어야 하는 전공필수 과목 중 하나입니다. 사전 지식이 비교적 많이 필요하지 않으면서도 수학 공부를 해나가는 데 필수적인 핵심 내용을 많이 담고 있습니다.이 과목은 ‘1과 0은 어떻게 정의할 수 있을까’ ‘자연수란 무엇일까’와 같이 수학을 제대로 배우기 위해 필요한 기초적 정의와 증명을 다룹니다. 중고등학교 수

최준원의 수리 논술 강의노트

'롤의 정리'는 반드시 직접 증명할 수 있어야

아래의 예시 논제를 통해 출제자가 묻고자 하는 것을 한 줄로 요약하자면 ‘롤의 정리를 직접 증명해보았는가?’이다.극한미분법의 기본 논증추론에 주로 사용되는 핵심 정리에는 최대최소의 정리와 롤의 정리가 있으며, 이 중 최대최소의 정리는 증명 없이 기본 성질로 사용할 수 있지만 롤의 정리는 반드시 직접 증명할 수 있어야 한다. 이때 최대최소의 정리가 롤의 정리를 증명하는 기본 성질로 활용되므로 이들 간의 관계를 잘 연결해 증명 연습을 해봐야 한다. 포인트미분계수의 극값정리 및 평균값정리도 롤의 정리의 개념에 포함된다.

최준원의 수리 논술 강의노트

직접 증명이 막힐 때는 '결론'을 부정해 볼 것

고1 수학에서 배운 바와 같이 어떤 명제와 그 ‘대우’ 명제의 참·거짓은 동일하다. 따라서 직접 증명이 막히면 결론을 부정했을 때 가정에 위배되는 모순이 생기는지를 보이면 된다. 이러한 증명법을 간접 증명 또는 귀류법이라고 하며 수리논술 답안을 채점할 때 직접 증명과 간접 증명의 논리성은 동일하게 인정되므로 증명 문제가 나오면 간접 증명을 항상 염두에 둘 필요가 있다. 포인트수리논술에서 출제되는 증명 문제의 유형에는 가정으로부터 결론을 이끌어내는 일반적인 직접 증명 외에 수학적 귀납법에 의한 증명과 귀류법(간접증명) 등이 있다.

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극한 증명문제의 수렴조건

연속 조건이나 미분가능 조건도 넓게는 수렴성의 조건에 포함되므로 미분 증명 문제도 극한 증명문제에 해당된다. 극한 증명문제가 출제됐을 때 제일 먼저 해야 할 것은 수렴조건이 주어졌는지를 확인하는 것이며, 이후 답안 작성 과정에서 주어진 수렴 조건을 필요한 시점에 정확하게 적용할 수 있도록 해야 한다. ☞ 포인트유튜브에 2=4임을 증명하는 흥미로운 내용의 영상이 소개된 적이 있다. 해당 영상의 내용은 ‘x의 x제곱의 x제곱의 x제곱…’과 같이 x의 거듭제곱을 무한히 시행한 것을 a라고 두면 a=2=4일 때 등식이 모두 성립하게 되어 2=4라는 결론을 내릴 수 있음을 보여주는 과정으로 되어 있다(본문 참조). 이 증명 과정의 근본적인 오류는 무한히 발산하는 식을 하나의 실수 a라고 단정한 것에서부터 시작된다. 이렇듯 논리적인 증명 과정에 있어서 출발점에 해당되는 근거나 조건을 명확히 하지 않으면 오류가 발생할 수 있다. 수리논술 답안을 작성할 때 문제에 주어진 조건이나 증명하려는 명제의 대전제를 명확히 한 상태에서 답안 작성을 시작하는 것이 매우 중요하다.