#최준원의 수리 논술 강의노트
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진학 길잡이 기타확률과 통계의 기본 - 평균과 분산
확률과 통계에서 가장 많이 출제되는 유형은 확률분포표에서 확률변수의 기댓값(평균)과 분산을 구하는 것이다. 즉, 평균과 분산을 제대로 구하는 것만으로도 확률과 통계에서 출제되는 수리논술 문항의 상당수를 이미 풀 수 있는 것과 마찬가지이므로 확률과 통계에 대해 지나치게 부담을 가질 필요가 없다. 평균과 분산부터 하나씩 점검해 가면 어렵지 않게 수리논술 문항을 해결할 수 있을 것이다. ☞ 포인트우선 1, 2, 3, 4, 5의 평균과 분산을 구해 보기로 하자. 평균은 자명하게 3임을 알 수 있다. 분산을 구하기 위해서는 분산의 정의가 (편차)의 제곱의 평균임을 먼저 확인한 다음 <편차 = 자료-평균>의 개념을 적용하여 값을 구해야 한다. 또한 분산은 (제곱)의 평균에서 (평균)의 제곱을 뺀 값과 동일함을 이용하여 값을 구할 수 있다. 정리된 개념을 바탕으로 이번에는 1, 1, 2, 1, 3, 4, 4, 5, 4, 5의 평균과 분산을 매끄럽게 구할 수 있는지 점검해보자. 또 이를 일반화해서 공식을 스스로 만들어 낼 수 있다면 확률과 통계의 수리논술 기초는 잘 대비된 것이다.
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진학 길잡이 기타규칙의 일반화 - 귀납적 추론
수열과 관련된 문제에서 몇 개의 항으로부터 일반 규칙을 찾을 때 마지막 항에서 빼는 수의 규칙을 찾는 경우에 대한 논제이다. 주어진 상황으로부터 처음 몇 개의 항을 구해보고, 이것으로부터 일반화된 규칙을 찾는 것이 문제 해결의 관건이다. 문제가 어렵지는 않지만 변별력이 대체로 높은 편이므로 귀납적 추론으로부터 규칙을 찾는 연습을 반복해서 해봐야 한다. ☞ 포인트최근의 수리논술 출제 경향을 보면 논제를 전체적으로 평이하게 출제하면서도 그 안에서 가능한 변별력을 최대한 높이는 방향으로 출제하고 있다는 것을 알 수 있다. 대학에서 논제를 출제할 때 이렇게 난이도를 쉽게 유지하면서도 변별력을 높이기 위해 계산 집중력을 요구하는 문제 위주로 출제하거나 주어진 개별 상황으로부터 일반화된 규칙을 찾는 문제를 주로 출제하게 된다. 오늘 살펴볼 논제를 통해 귀납적 추론으로부터 일반적인 규칙을 찾는 방법을 숙지하고, 이와 같은 훈련을 반복해서 연습하면 수리논술 대비에 많은 도움이 될 것이다.
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진학 길잡이 기타삼각함수의 적분
삼각함수 중에서도 코시컨트함수와 시컨트함수의 적분법은 치환적분법을 이용해 유리함수의 적분으로 이어지게 된다. 다른 유형에 비해 여러 단계의 계산 과정을 거쳐야 하기 때문에 변별력이 다소 높은 편이다. 해당 유형의 특성상 수험생들은 지면 해설을 참고해 전체의 풀이 과정이 익숙해질 때까지 단계별로 계산 과정을 반복해서 연습하는 것이 필요하다. ☞ 포인트미적분에서 적분 파트는 대학수학능력시험이나 수리논술에서 변별력이 높은 문항들이 집중적으로 출제되는 영역이다. 왜냐하면 미적분 과정에서 가장 마지막에 해당 진도를 마치게 되어서 아직 유형을 체계적으로 정리할 시간이 부족하고, 내용면에도 앞에서 배운 개념들이 복합적으로 활용되기 때문이다. 따라서 수리논술을 준비하는 수험생들은 특히 미적분의 후반부 과정을 남은 기간 동안 집중적으로 정리하고 반복해서 연습해봐야 한다.
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진학 길잡이 기타정적분과 급수의 합 - 2022학년도 한양대 모의논술
급수의 합을 정적분으로 고치는 문제가 대학수학능력시험뿐 아니라 논술에서도 자주 출제되는데, 정답만을 도출하면 되는 수능과 달리 논술에서는 구분구적법에 의해 정적분으로 수렴해 가는 과정을 좀 더 정확하게 이해하는 것이 필요하다. 이를 위해서는 직접 그림을 그려서 구간을 n등분 할 때의 분점을 표시하는 연습을 해보고 이를 다양한 문제에 적용해 보아야 한다. ☞ 포인트한양대 수리논술은 대체로 난도가 높은 편이며 올해 실시된 모의논술에서도 변별력이 매우 높은 문제가 출제됐다. 논제의 출제 범위가 고교 과정을 벗어나지는 않지만 개념에 대한 이해도가 완벽해야 하며 문제를 해결하기 위한 계산적인 집중력도 상당한 수준으로 요구된다. 이런 논제를 해결하기 위해서 교과서의 기본 개념과 공식을 직접 유도해보는 훈련이 우선 필요하다. 이와 함께 난도가 높은 수능 4점짜리 문제들을 논술 형식으로 꼼꼼하게 풀어보는 연습을 꾸준히 하면 한양대 수리논술 대비에 많은 도움이 된다.
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진학 길잡이 기타역함수와 매개변수 함수의 미분법
역함수의 미분 가능성은 원래 함수가 미분 가능하면서 원래 함수에 대한 역함수가 존재하고 그 역함수가 연속이라는 것을 전제로 주어진다. 마찬가지로 매개변수 함수의 미분 가능성도 각 변수에 대한 역함수가 존재하면서 그 역함수의 연속성을 전제로 얻어진다는 것을 이해해야 한다. 논술 답안을 작성할 때 이 점을 명확히 언급하면 더 좋은 점수를 받을 수 있다. ☞ 포인트역함수 문제가 출제되면 대개 정답률이 낮다. 내용이 어렵지는 않지만 변수가 서로 뒤바뀌는 문제를 모호하고 불확실하게 처리하여 답안이 명확하게 작성되지 않는 경우가 많기 때문이다. 따라서 역함수 문제가 출제되는 경우 대체로 변별력이 높은 편이다. 역함수는 정의역과 공역이 역할을 바꾸었을 때도 함수가 돼야 하므로 원래의 함수가 1 대 1 대응일 때 역함수가 존재한다. 이 사실을 명확히 숙지하면서 바뀐 변수와 이전 변수를 혼동하지만 않으면 언제나 올바른 결과를 쉽게 얻을 수 있다. 지면의 예시답안을 참고해 관련 개념을 잘 정리한다면 역함수 문제는 수리논술에서 확실하게 점수를 얻을 수 있는 전략적 유형의 하나가 될 수 있을 것이다.
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진학 길잡이 기타극한 증명문제의 수렴조건
연속 조건이나 미분가능 조건도 넓게는 수렴성의 조건에 포함되므로 미분 증명 문제도 극한 증명문제에 해당된다. 극한 증명문제가 출제됐을 때 제일 먼저 해야 할 것은 수렴조건이 주어졌는지를 확인하는 것이며, 이후 답안 작성 과정에서 주어진 수렴 조건을 필요한 시점에 정확하게 적용할 수 있도록 해야 한다. ☞ 포인트유튜브에 2=4임을 증명하는 흥미로운 내용의 영상이 소개된 적이 있다. 해당 영상의 내용은 ‘x의 x제곱의 x제곱의 x제곱…’과 같이 x의 거듭제곱을 무한히 시행한 것을 a라고 두면 a=2=4일 때 등식이 모두 성립하게 되어 2=4라는 결론을 내릴 수 있음을 보여주는 과정으로 되어 있다(본문 참조). 이 증명 과정의 근본적인 오류는 무한히 발산하는 식을 하나의 실수 a라고 단정한 것에서부터 시작된다. 이렇듯 논리적인 증명 과정에 있어서 출발점에 해당되는 근거나 조건을 명확히 하지 않으면 오류가 발생할 수 있다. 수리논술 답안을 작성할 때 문제에 주어진 조건이나 증명하려는 명제의 대전제를 명확히 한 상태에서 답안 작성을 시작하는 것이 매우 중요하다.
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진학 길잡이 기타논증추론 문제의 해결전략
증명 문제를 해결하는 주요 전략은 교과서의 기본성질을 근거로 하여 증명하는 방법과 귀류법과 같은 논리적 사고에 의해 해결하는 전략, 산술·기하 평균 부등식과 같은 절대부등식을 이용하는 방법 등이 있다. 이외에도 자연수에 대한 명제로서 수학적 귀납법 증명 문제 등이 수리논술에서 주로 출제되는 증명 문제이다. ☞ 포인트수리논술이 수능과 다른 점은 풀이 과정에 대한 평가를 단계적으로 한다는 것에 있다. 특히 논증추론, 즉 증명 문제는 답안의 논리성에 대한 판단이 채점의 핵심 포인트이므로 증명의 근거가 명확하지 않으면 일반 문항에 비해 더 많이 감점될 수 있다. 따라서 평소에 교과서의 기본성질을 잘 숙지하고 있어야 하며 귀류법이나 산술·기하 평균 부등식과 같은 절대부등식 등도 언제든 활용할 수 있어야 한다. 또한 자연수에 대한 증명 문제로 거의 매년 출제되는 수학적 귀납법 증명 방법 등도 평소에 꾸준히 증명 연습을 할 필요가 있다.
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진학 길잡이 기타이항정리
확률과 통계에서 가장 중요한 주제 또는 단원을 고르라고 한다면 단연 이항정리를 들 수 있다. 고1 수학의 순열·조합에서 이항정리로 개념이 확장되고 이를 바탕으로 다시 이항분포와 정규분포로 이어지는 가장 중요한 연결고리가 되기 때문이다. 오늘 다룰 논제를 통해서 이항정리의 개념과 이에 대한 활용법을 잘 숙지해둔다면 수리논술 대비에 많은 도움이 될 것이다. ☞ 포인트2022학년도 수리논술에서 확률과 통계를 출제 범위에 포함시킨 대학은 연세대, 성균관대, 한양대를 비롯한 20여 개 대학에 이른다. 이는 전체 수리논술을 실시하는 대학의 과반으로 높은 비중을 차지한다. 따라서 수리논술을 준비하는 학생들은 미적분과 아울러 확률과 통계를 반드시 학습해둬야 한다. 오늘 다룰 이항정리와 같이 고1 수학과 확률과 통계의 개념이 교차되고 다시 확장되는 주제를 잘 숙지하고 이를 반복하여 연습한다면 수리논술 대비에 큰 어려움이 없을 것이다.