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평면에선 못 만나는 평행선, 구면 위에선 만나

지난호(제875호)에서는 유클리드기하학에 대해 다루었습니다. 그 과정에서 유클리드기하학은 불필요한 전제를 최소화해 어떤 사실을 설명하고자 할 때 반드시 그러한 전제들로만 혹은 전제들로 이미 증명된 사실만 사용하는 학문적 구조를 지니고 있다고 했습니다. 여담이지만 이러한 학문적 구조는 상당히 세련된 형태이며 과학적 접근법과 함께 논리적 추론을 이끌어내는 아주 중요하고 유용한 사고방식입니다.따라서 꼭 필요한 전제, 즉 기하학의 근원적 사실로서 다른 것들로 증명 불가능하고 논리를 전개하기 위해 당연히 옳다고 여겨지는 것을 지니고 있습니다. 이를 공준이라고 하는데, 유클리드는 총 5개의 공준을 제시합니다.이 공준을 자세히 살펴보면 점, 선, 각 등을 무엇이라고 정의하는 것이 아닙니다. 그 자체가 가지고 있는 성질을 설명하는데, 원문에 가깝게 표현하자면 다음과 같이 쓸 수 있겠습니다.1. 서로 다른 두 점이 주어졌을 때, 그 두 점을 잇는 직선을 그을 수 있다.2. 임의의 선분은 더 연장할 수 있다.3. 서로 다른 두 점 A, B에 대해, 점 A를 중심으로 하고 선분 AB를 한 반지름으로 하는 원을 그릴 수 있다.4. 모든 직각은 서로 같다.5. 임의의 직선이 두 직선과 교차할 때, 교차하는 각의 내각의 합이 두 직각(180도)보다 작을 때, 두 직선을 계속 연장하면 두 각의 합이 두 직각보다 작은 쪽에서 교차한다.위의 사실들조차 인정하지 않고서는 단순한 논리조차 펼 수 없으면서도, 이 5개만으로 충분한 수학적 전개가 가능하다는 사실이 아주 흥미로울 뿐입니다.마지막 공준은 조금 어려울 수 있습니다. 엄밀성 문제가 생길 수도 있지만 약간의 비약을 섞어 조금 이해하기 쉽게 바꿔본다면 &lsq