생글생글

학습 길잡이 기타

선택의 고민에 빠졌을 땐 부등식 활용해 보세요

방정식과 부등식은 어떤 의미를 지니며, 왜 중요한 걸까요? 이 질문은 수학을 싫어하는 사람들에게 떠오르는 의문이다. 하지만 수학이 현실 세계를 깊이 이해하고 예측하는 데 얼마나 중요한 역할을 하는지를 인지하면 이 의문들은 곧 사라지게 된다.지난 칼럼에서 현실의 문제들은 방정식으로 표현되는 예를 설명했다. 건물 벽의 두께, 다리의 두께, 방음재의 효과 등 많은 것이 수학적 개념이 포함된 방정식으로 표현된다. 그렇다면 부등식은 왜 배워야 할까? 부등식의 개념을 언제부터 사용했는지부터 알아보자.이미 고대 그리스 시대부터 세계 곳곳에서 부등식의 개념을 사용했다. 하지만 등식과 부등식을 명확히 구분하지 않았다. 예를 들어 피타고라스 정리는 직각삼각형 세 변의 관계에 관한 방정식이다.a, b, c가 세 변의 길이라고 할 때, a²+b²=c²이다. 이를 활용한 부등식 a²+b²≥c²은 ∠C90 를 판별할 수 있는 식이다. 하지만 당시에는 부등식으로 표현하지 않았다. 고대부터 부등식의 개념은 사용했지만 부등식으로 표현하지 않았다는 것이다.그렇다면 부등식으로 표현하는 것은 언제부터일까? 17세기 르네상스 시대에는 과학의 황금기가 도래하면서 현실적이고 실험적인 태도가 강조되었다. 갈릴레오 갈릴레이와 요하네스 케플러는 천체의 관찰을 통해 지구 중심주의를 부정하고, 행성의 운동을 새로운 시각으로 이해하는 데 부등식 개념을 활용했다. 인쇄술의 발전으로 책을 만들기 위해 여러 수학적 기호가 등장했다. 부등식의 기호가 처음 도입된 것은 17세기 말, 18세기 초로 알려져 있다. 영국의 수학자 윌리엄 오트레드는 16세기 말에서 17세기 초에 활동했으며, 그의 주요 저

진학 길잡이 기타

극한 논증추론 문제의 해결전략

극한 논증추론 문제의 증명에는 교과서 극한 단원에서 공부하게 되는 두 가지 기본성질이 주로 이용된다. 첫 번째 기본성질은 극한의 연산법칙이고, 두 번째 기본성질은 ‘샌드위치 법칙’으로 불리는 극한의 부등식에 관한 기본성질이다. 이 외에도 교과서에 따로 명시되어 있지는 않지만 언제든 적용할 수 있는 극한의 공리에는 상수함수에 대한 성질이 포함되며, 이번 논제를 포함해서 극한 논증추론 문제 해결에 유용하게 사용된다. ☞ 포인트극한에 관한 논증추론 문제는 변별력이 높고 그만큼 정답률이 낮은 경우가 대부분이다. 학생들이 논증추론 문제, 즉 증명 문제를 접하게 될 때 체감난도가 일반 풀이형 문제에 비해 높기 때문이다. 그러나 극한의 논증추론 문제를 해결하는 원리는 의외로 간단하다. 바로 극한의 기본성질을 이용하는 것이다. 기존의 공리들을 이용하여 하나의 명제 체계를 이루게 되고, 이렇게 증명된 하나의 명제가 또 다른 명제의 공리로서 사용되는 것이 증명의 기본 원리다. 따라서 모든 증명 논제의 최우선 해결 전략은 기본성질로 접근하는 것임을 항상 숙지해야 한다.