서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - 포물선의 초점 작도하기

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그리스의 수학자 아폴로니우스는 원뿔을 자를 때 단면의 모양을 타원, 포물선, 쌍곡선으로 분류하고 이 곡선이 다음 성질을 갖는다는 것을 발견하였다.

① 포물선 위의 한 점은 고정된 한 점까지의 거리와 고정된 한 직선까지 이르는 거리가 항상 같다.

② 타원 위의 한 점은 고정된 두 점으로부터 거리의 합이 일정하다.

③ 쌍곡선 위의 한 점은 고정된 두 점으로부터 거리의 차가 일정하다.

현재 고등학교 기하와 벡터 교과서에는 아폴로니우스가 발견한 성질을 원뿔곡선의 정의로 사용하고 있다. 이때 고정된 점을 초점(focus), 고정된 직선을 준선(directrix)이라고 한다. 좌표평면에 이차곡선을 표현하면 x, y에 관한 이차방정식으로 표현되는데, 이런 이유로 원뿔곡선을 이차곡선이라고 한다.

이번 호에서는 포물선의 몇 가지 성질을 소개한다. 초점을 지나고 준선에 수직인 직선을 포물선의 축, 포물선과 축이 만나는 점을 포물선의 꼭짓점이라 한다. [그림1]

눈금 없는 자와 컴퍼스로 포물선을 작도할 수는 없지만, 포물선이 주어져 있을 때 초점을 찾을 수는 있다. 이때 사용되는 다음과 같은 포물선의 성질을 사용한다.

① 포물선과 두 점에서 만나는 직선이 있을 때, 그 직선에 평행한 직선이 포물선과 만나는 교점 중점의 자취는 포물선의 축과 평행한 직선의 일부이다.

② 포물선의 축에 평행하게 들어온 빛이 포물선에 반사되면 초점으로 들어간다.

[그림2]와 같은 포물선이 주어져 있을 때 초점을 구해 보자.

(1) 먼저 성질①을 이용하여 포물선의 축과 나란한 직선을 작도하자.[그림3]

(2) 이 직선과 포물선이 만나는 점을 지나고 처음 선분에 평행한 직선을 작도하면 이 직선은 포물선의 접선이 된다.

(3) 이제 축에 나란한 직선을 접선에 대칭시킨 직선을 작도하자. 포물선의 성질②에 따르면 이 직선은 포물선의 초점을 지나야 한다. [그림4]

(4) (1)과는 다른 현을 이용하여 (1)~(3)의 과정을 한 번 더 시행한다. 이때 (3)에서 작도한 직선과 (4)에서 마지막에 작도한 직선의 교점이 초점이다. [그림5]

그렇다면 꼭짓점과 준선은 어떻게 작도할 수 있을까?

(5) 초점을 지나고 (1)에서 그은 직선과 평행인 직선을 작도하자. 이 직선이 포물선의 축이고, 축과 포물선이 만나는 점이 꼭짓점이고, 초점을 꼭짓점에 대하여 대칭인 점을 지나고 축에 수직인 직선을 작도하자. 이 직선이 포물선의 준선이다. [그림6]

(6) 실제로 포물선의 정의를 만족함을 확인할 수 있다. [그림7]

■김국인 선생님

김국인 선생님은 현재 서울과학고등학교에 근무하신다. 서울대에서 수학교육을 전공하였으며 서울대 대학원에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 현재 전국연합 모의고사 출제위원으로 활동하고 있다.


배시원 쌤의 신나는 영어여행 - heart? cardio?

심장은 영어로 heart라고 하죠? 하지만 cardio라는 말도 사용해요. 미국에서 구어로 cardio라고 하면, 달리기 같은 ‘심장 강화(유산소) 운동’을 뜻한답니다.

요즘 환절기라, 감기에 걸린 학생들이 참 많은데, 공부도 좋지만 첫째도 둘째도 역시 건강이 제일입니다. 저 역시 조금 무리하다 보니, 예전에는 알지 못했던 병명을 알게 되는 기쁨(?)을 맛보고 있답니다. 그래서 오늘은 신체 기관과 관련된 의학 용어에 대해 알아보도록 하겠습니다.

우선 심장은 영어로 heart라고 하는 건 다 아시지요? 하지만 조금 어려운 단어로 cardio라는 말도 사용한답니다. 그래서 심장 혈관 질환을 cardiovascular disease라고 한답니다. 사실 cardio가 들어가는 단어가 거의 다 어려운 의학용어라 굳이 일부러 열심히 외울 필요는 없답니다. 그냥 미국에서 구어로 cardio라고 하면, 달리기 같은 ‘심장 강화(유산소) 운동’을 뜻한다는 정도만 알아도 좋습니다.

뇌 역시 brain이라는 단어를 주로 쓰지만, 의학 용어에서는 cerebro라는 단어도 자주 사용된답니다. 그래서 뇌진탕을 concussion of the brain이라고 하지만, cerebral concussion이라고 쓸 수도 있답니다. 폐는 영어로 lung이라고 하지만, 조금 어려운 말로 pulmonary라는 단어도 있습니다. 앞으로 이 단어가 들어간 용어를 보시면, 폐와 관련된 단어구나라고 생각하시면 됩니다.

또 호흡기와 관련된 단어로 respiratory도 있습니다. 올해 우리나라를 공포에 떨게 했던 ‘메르스(MERS)’도 Middle East Respiratory Syndrome(중동호흡기증후군)의 약자이고, 10여년 전 동남아시아를 공포의 도가니로 몰아넣었던 ‘사스(SARS)’ 역시 Severe Acute Respiratory Syndrome(중증급성호흡기증후군)의 약자랍니다.

우리가 ‘날카로운’이라는 뜻으로만 외었던 acute가 의학 용어에서는 ‘급성’이란 뜻으로도 쓰인답니다. 반대로 ‘만성’ 질환이라는 용어를 쓰고 싶다면, chronic이라는 단어를 쓰면 됩니다. 영화 나니아 연대기(The Chronicles Of Narnia)에서 알 수 있듯이 chronic이 들어간 단어들은 시간의 흐름을 뜻하거든요.

끝으로 -itis로 끝나는 단어들을 염증을 뜻하는 의학 용어일 가능성이 높습니다. 그래서 피부를 뜻하면 derma라는 단어와 결합하면 dermatitis(피부염)가 되고, 간을 뜻하는 hepato라는 단어와 결합하면 hepatitis(간염)가 되며, 관절을 뜻하는 arthro와 결합하면 arthritis(관절염)가 된답니다.

이 글 읽는 분들 모두모두 건강하세요~!!!

■ 배시원 선생님

배시원 선생님은 호주 맥쿼리대 통번역 대학원에서 석사학위를 받았으며 현재 배시원 영어교실 원장을 맡고 있다. 김영 편입학원, YBM, ANC 승무원학원 등에서 토익·토플을 강의했다. 고려대 성균관대 등 대학에서도 토익·토플을 가르치고, 한영외고 중앙고 숭문고 등에서 방과후 텝스를 강의했다.